1 – Médiane
Définition 1 : La médiane d'une série statistique est la valeur qui partage la série, rangée par ordre croissant, en deux moitiés de même effectif.
Méthode : On range les valeurs par ordre croissant, puis :
- Si l'effectif \(N\) est impair : la médiane est la valeur qui occupe la position centrale (rang \(\dfrac{N+1}{2}\)).
- Si l'effectif \(N\) est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rangs \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\)).
Exemple 1 :
On relève les âges de 15 personnes (déjà rangés par ordre croissant) :
3 ; 7 ; 10 ; 14 ; 18 ; 25 ; 28 ; 31 ; 37 ; 42 ; 45 ; 59 ; 67 ; 72 ; 88
\(N = 15\) (impair), donc la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{15+1}{2} = 8\).
La 8ème valeur est 31.
La médiane est 31 ans.
Exemple 2 :
On relève les âges de 10 personnes (déjà rangés par ordre croissant) :
5 ; 8 ; 12 ; 19 ; 28 ; 32 ; 45 ; 49 ; 70 ; 95
\(N = 10\) (pair), donc la médiane est la moyenne des valeurs de rang 5 et 6. \[\text{Médiane} = \dfrac{28 + 32}{2} = 30\] La médiane est 30 ans.
Remarques :
- La médiane n'est pas la moyenne.
- La médiane est moins influencée par les valeurs extrêmes que la moyenne.
- 50 % des données sont inférieures à la médiane et 50 % lui sont supérieures.
2 – Moyenne pondérée
Définition 2 : La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total.
Exemple 3 :
5 nageurs obtiennent les temps suivants (en secondes) : 51 ; 45 ; 55 ; 43 ; 46.
\(\text{Moyenne} = \dfrac{51 + 45 + 55 + 43 + 46}{5}\)\(= \dfrac{240}{5} = 48\) secondes
Remarques :
- La moyenne n'a de sens que pour des séries quantitatives (valeurs numériques).
- La moyenne est un indicateur central : elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
- Lorsque les valeurs ont des effectifs différents, on utilise la moyenne pondérée.
Propriété 1 : La moyenne pondérée d'une série statistique se calcule par :
\[\text{Moyenne} = \dfrac{\text{somme des } (\text{valeur} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}\]
Exemple 4 :
On relève les notes d'un devoir dans une classe :
| Note | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) | \(13\) | \(14\) |
| Effectif | \(3\) | \(4\) | \(3\) | \(4\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(= \dfrac{24 + 36 + 30 + 44 + 12 + 26 + 42}{20} = \dfrac{214}{20} = 10{,}7\) La moyenne de la classe est 10,7.
