1 – Calcul de probabilités
Rappels :
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
- Les résultats possibles d'une expérience aléatoire sont appelés les issues.
- Un événement est un ensemble d'issues.
- La probabilité \(P(A)\) d'un événement \(A\) est un nombre compris entre 0 et 1.
- Un événement certain a une probabilité égale à 1.
- Un événement impossible a une probabilité égale à 0.
- Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
Propriété 1 : En situation d'équiprobabilité :
\[P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\]
Exemple 1 :
On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit \(A\) l'événement « obtenir un multiple de 3 ».
Les issues favorables à \(A\) sont : \(\{3 \,; 6\}\). \[P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 33\,\%\]
Définition 1 : L'événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), est l'événement qui est réalisé lorsque \(A\) ne l'est pas.
Exemple 2 :
L'événement contraire de \(A\) = « obtenir un multiple de 3 » est :
\(\overline{A}\) = « ne pas obtenir un multiple de 3 » = \(\{1 \,; 2 \,; 4 \,; 5\}\).
Propriété 2 : La probabilité de l'événement contraire est :
\[P(\overline{A}) = 1 - P(A)\]
Exemple 3 :
\[P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \approx 67\,\%\]
2 – Lien entre fréquences et probabilités
Propriété 3 : Lorsqu'on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité.
Exemple 4 :
On lance un dé équilibré et on note la fréquence d'apparition de la face « 6 » :
| Nombre de lancers | \(10\) | \(50\) | \(200\) | \(500\) | \(5\,000\) |
| Fréquence de « 6 » | \(40\,\%\) | \(12\,\%\) | \(18\,\%\) | \(17{,}7\,\%\) | \(17{,}12\,\%\) |
Exemple 5 :
On lance une pièce et on note la fréquence d'apparition de « Pile » :
| Nombre de lancers | \(10\) | \(50\) | \(200\) | \(500\) | \(5\,000\) |
| Fréquence de « Pile » | \(60\,\%\) | \(55\,\%\) | \(63\,\%\) | \(65\,\%\) | \(67\,\%\) |
Conclusion : la pièce est truquée.
