1 – Côté adjacent
Rappels :
- Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté.
- L'angle droit mesure \(90{^\circ}\).
- Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut \(90{^\circ}\).
Exemple 1 :
Le triangle ABC est rectangle en A.
Définition 1 : Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui forme cet angle et qui touche l'angle droit (ce n'est pas l'hypoténuse).
Exemple 2 :
Le triangle ABC est rectangle en A.
- Le côté adjacent à l'angle \(\widehat{B}\) est \([AB]\).
- Le côté adjacent à l'angle \(\widehat{C}\) est \([AC]\).
2 – Cosinus d'un angle aigu
Définition 2 : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient :
\[\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\]
Exemple 3 :
Dans le triangle ABC rectangle en A :
Remarque : Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris strictement entre 0 et 1 :
\[0 < \cos(\text{angle aigu}) < 1\]
Calculatrice :
- La touche cos permet de calculer le cosinus d'un angle.
- La touche cos\(^{-1}\) (ou arccos) permet de retrouver l'angle à partir de son cosinus.
Exemple 4 :
\[\cos(45{^\circ}) \approx 0{,}71\]
\[\cos^{-1}(0{,}5) = 60{^\circ}\]
3 – Calcul de longueurs
Le cosinus permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle lorsqu'on connaît un angle aigu et une longueur.
Exemple 5 (calcul du côté adjacent) :
Le triangle LEA est rectangle en E. On donne \(\widehat{L} = 50{^\circ}\) et \(AL = 5\) cm. Calculer LE.
Exemple 6 (calcul de l'hypoténuse) :
Le triangle ATP est rectangle en T. On donne \(\widehat{A} = 25{^\circ}\) et \(AT = 7\) cm. Calculer AP.
4 – Calcul de la mesure d'un angle
Le cosinus permet aussi de calculer la mesure d'un angle dans un triangle rectangle lorsqu'on connaît deux longueurs.
Exemple 7 :
Le triangle FUN est rectangle en U. On donne \(NU = 4\) cm et \(NF = 6\) cm. Calculer \(\widehat{N}\).
