1 – Pyramide
Définition 1 : Une pyramide est un solide dont :
- La base est un polygone.
- Les faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun appelé sommet de la pyramide.
Vocabulaire :
- La hauteur de la pyramide est le segment qui relie le sommet à la base, perpendiculairement à celle-ci.
- Une arête latérale est un segment qui relie le sommet à un sommet de la base.
Exemple 1 :
Pyramide SABCDE :
- Sommet : S
- Base : le pentagone ABCDE
- Faces latérales : 5 triangles (SAB, SBC, SCD, SDE, SEA)
- Arêtes latérales : 5 arêtes ([SA], [SB], [SC], [SD], [SE])
- Hauteur : [OS] (O est le pied de la hauteur sur la base)
Exemple 2 :
Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.
Un tétraèdre possède :
- 4 faces (toutes triangulaires)
- 4 sommets
- 6 arêtes dont 3 arêtes latérales
Remarque : Une pyramide a autant de faces latérales et d'arêtes latérales que de côtés dans sa base.
Exemple 3 :
Pyramide à base rectangulaire de dimensions 9 cm × 6 cm, avec des arêtes latérales de 7 cm.
2 – Cône de révolution
Définition 2 : Un cône de révolution est un solide dont :
- La base est un disque.
- La face latérale est une surface courbe qui s'enroule autour de la base jusqu'au sommet.
Remarque : Le cône de révolution est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour de l'un de ses côtés de l'angle droit.
Vocabulaire :
- La hauteur est le segment qui relie le sommet au centre de la base, perpendiculairement à celle-ci.
- Une génératrice est un segment qui relie le sommet à un point du cercle de base.
Exemple 4 :
- Sommet : S
- Base : disque de centre O et de rayon OA
- Hauteur : [OS]
- Génératrice : [AS]
Exemple 5 :
Patron d'un cône de rayon 3 cm et de génératrice 5 cm.
Périmètre de la base :
\[P = 2\pi \times 3 = 6\pi \approx 19 \text{ cm}\]
Le périmètre de la portion de disque (arc du patron) mesure la même longueur que le périmètre de la base.
Calcul de l'angle \(\alpha\) de la portion de disque :
On utilise un tableau de proportionnalité :
Calcul de l'angle \(\alpha\) de la portion de disque :
On utilise un tableau de proportionnalité :
| Périmètre | Angle | |
| Disque entier | \(2\pi \times 5 = 10\pi\) | \(360{^\circ}\) |
| Portion | \(6\pi\) | \(\alpha\) |
Par produit en croix :
\[\alpha = \dfrac{6\pi \times 360}{10\pi} = 0{,}6 \times 360 = 216{^\circ}\]
3 – Volume
Propriété 1 : Le volume d'une pyramide ou d'un cône de révolution est :
\[V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\]
Remarques :
- Cône de révolution : la base est un disque de rayon \(r\), donc : \[V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}\]
Remarques :
- Tétraèdre : la base est un triangle, donc l'aire de la base se calcule avec \(\dfrac{B \times H}{2}\).
- Pyramide à base rectangulaire : \(V = \dfrac{L \times l \times h}{3}\).
Exemple 6 :
Cône de révolution de rayon \(r = 3\) cm et de hauteur \(h = 4\) cm.
\[V = \dfrac{\pi \times r^2 \times h}{3} = \dfrac{\pi \times 3^2 \times 4}{3} = \dfrac{\pi \times 9 \times 4}{3} = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3\]
Exemple 7 :
La pyramide de Khéops a une base rectangulaire de dimensions \(221{,}5\) m × \(218{,}5\) m et une hauteur de \(h = 104{,}4\) m.
\[V = \dfrac{L \times l \times h}{3} = \dfrac{221{,}5 \times 218{,}5 \times 104{,}4}{3}\]
\[V \approx 1\;684\;387{,}7 \text{ m}^3\]
\[V \approx 1\;684\;387{,}7 \text{ m}^3\]
