1 – Puissance d'un nombre relatif
Définition 1 : Soit \(a\) un nombre relatif et \(n\) un nombre entier positif. La puissance \(n\) de \(a\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à \(a\) :
\[a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}}\]
Vocabulaire :
- \(a^2\) se lit « \(a\) au carré ».
- \(a^3\) se lit « \(a\) au cube ».
- \(a^n\) se lit « \(a\) à la puissance \(n\) » ou « \(a\) exposant \(n\) ».
Remarques :
- \(a^0 = 1\) (pour tout \(a \neq 0\)).
- \(a^1 = a\).
- \(0^n = 0\) (pour tout \(n \geq 1\)).
- \(1^n = 1\).
Exemple 1 :
\[6^2 = 6 \times 6 = 36\]
\[(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125\]
\[3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\]
\[2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\]
\[1^{99} = 1\]
\[99^1 = 99\]
Définition 2 : Soit \(a\) un nombre relatif non nul et \(n\) un nombre entier positif. La puissance \(-n\) de \(a\) est l'inverse de \(a^n\) :
\[a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]
Remarque : En particulier, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) est l'inverse de \(a\).
Exemple 2 :
\[4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}\]
\[(-5)^{-2} = \dfrac{1}{(-5)^2} = \dfrac{1}{25}\]
Propriété 1 : La puissance est prioritaire sur les autres opérations (multiplication, division, addition, soustraction).
Remarque : Les parenthèses restent prioritaires sur la puissance.
Attention : \((-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\) mais \(-5^2 = -(5 \times 5) = -25\).
Attention : \((-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\) mais \(-5^2 = -(5 \times 5) = -25\).
Exemple 3 :
\[\text{A} = 5 + 2 \times 6^2 + 2^2\]
\[\text{A} = 5 + 2 \times 36 + 4\]
\[\text{A} = 5 + 72 + 4\]
\[\text{A} = 81\]
\[\text{B} = 5 \times 2^3 - 3^2 \times 4 + 3\]
\[\text{B} = 5 \times 8 - 9 \times 4 + 3\]
\[\text{B} = 40 - 36 + 3\]
\[\text{B} = 7\]
2 – Puissance de dix
Définition 3 :
- \(10^n = 1\underbrace{0\,0\ldots0}_{n \text{ zéros}}\) (un \(1\) suivi de \(n\) zéros).
- \(10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\,0\ldots0}_{n-1 \text{ zéros}}1 = \dfrac{1}{10^n}\)
Exemple 4 :
\[10^3 = 1\,000\]
\[10^6 = 1\,000\,000\]
\[10^{-2} = 0{,}01\]
\[10^{-9} = 0{,}000\,000\,001\]
Exemple 5 :
\[1 \text{ km} = 10^3 \text{ m} = 1\,000 \text{ m}\]
\[1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m} = 0{,}001 \text{ m}\]
\[1 \text{ Go} = 10^9 \text{ o}\]
\[1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}\]
Propriété 2 :
- \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)
- \(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)
Exemple 6 :
\[10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8\]
\[\dfrac{10^4}{10^7} = 10^{4-7} = 10^{-3}\]
3 – Écriture scientifique
L'écriture scientifique permet d'écrire de manière simplifiée les très grands et les très petits nombres.
Définition 4 : L'écriture scientifique d'un nombre est son écriture sous la forme :
\[a \times 10^n\]
où \(a\) est un nombre décimal tel que \(1 \leq a < 10\) (ou \(-10 < a \leq -1\)) et \(n\) est un entier relatif.
Remarque :
- Si \(n > 0\), on décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite (grand nombre).
- Si \(n < 0\), on décale la virgule de \(|n|\) rangs vers la gauche (petit nombre).
Exemple 7 :
- L'âge de la Terre est d'environ \(4\,500\,000\,000\) d'années,
soit \(4{,}5 \times 10^9\) années. - Le rayon d'un atome d'hydrogène est d'environ \(0{,}000\,000\,000\,053\) m,
soit \(5{,}3 \times 10^{-11}\) m. - La distance moyenne Terre-Soleil est d'environ \(149\,600\,000\) km,
soit \(1{,}496 \times 10^8\) km.
