1 – Expression littérale
Définition 1 : Une expression littérale est une expression mathématique qui contient des lettres désignant des nombres.
Exemple 1 :
- \(\text{A} = 2 \times x + 1\) où \(x\) désigne un nombre.
- \(\text{B} = n \times (n+1)\) où \(n\) désigne un nombre entier.
- Périmètre d'un carré de côté \(c\) : \(4 \times c\)
- Périmètre d'un rectangle de longueur \(L\) et de largeur \(l\) : \(2 \times L + 2 \times l\)
Remarques :
- Lorsqu'une même lettre apparaît plusieurs fois dans une expression, elle désigne toujours le même nombre.
- Évaluer (ou calculer) une expression littérale, c'est remplacer les lettres par des valeurs numériques.
Exemple 2 :
- \(\text{A} = 2 \times x + 1\)
Pour \(x = 2\) : \(\text{A} = 2 \times 2 + 1 = 5\)
Pour \(x = 0{,}5\) : \(\text{A} = 2 \times 0{,}5 + 1 = 2\) - \(\text{B} = n \times (n+1)\)
Pour \(n = 10\) : \(\text{B} = 10 \times 11 = 110\)
Pour \(n = -5\) : \(\text{B} = (-5) \times (-4) = +20\) - Périmètre d'un carré : pour \(c = 3\) cm, \(P = 4 \times 3 = 12\) cm.
- Périmètre d'un rectangle : pour \(L = 5\) cm et \(l = 2\) cm, \(P = 2 \times 5 + 2 \times 2 = 14\) cm.
Convention d'écriture : pour simplifier l'écriture, on supprime le signe « \(\times\) » devant une lettre ou devant une parenthèse.
Exemple 3 :
\[2 \times x + 3 \times y = 2x + 3y\]
\[x \times y \times z = xyz\]
\[2 \times (x+5) = 2(x+5)\]
\[x \times (x-3) = x(x-3)\]
\[(x+1) \times (x-2) = (x+1)(x-2)\]
\[2 \times x + 3 \times 5 = 2x + 15\]
2 – Distributivité
Propriété 1 (Distributivité) :
\[k(a + b) = ka + kb\]
\[k(a - b) = ka - kb\]
Remarque : On utilise ici la convention d'écriture (le signe « \(\times\) » est supprimé devant les lettres).
Exemple 4 (Calcul astucieux) :
\[15 \times 103 = 15 \times (100 + 3) = 15 \times 100 + 15 \times 3 = 1500 + 45 = 1545\]
\[13 \times 98 = 13 \times (100 - 2) = 13 \times 100 - 13 \times 2 = 1300 - 26 = 1274\]
Définition 2 : Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou différence).
Remarque : Développer, c'est appliquer la distributivité dans le sens \(k(a+b) = ka + kb\).
Exemple 4 :
\[\text{A} = 3(x+2) = 3x + 6\]
\[\text{B} = 2(1 - 4x) = 2 - 8x\]
\[\text{C} = -2(2x - 5) = -4x + 10\]
Définition 3 : Factoriser, c'est transformer une somme (ou différence) en un produit.
Remarque : Factoriser, c'est appliquer la distributivité dans le sens \(ka + kb = k(a+b)\). Il faut trouver le facteur commun.
Exemple 5 :
\[\text{A} = 5x + 10 = 5(x + 2)\]
\[\text{B} = 8x - 4 = 4(2x - 1)\]
\[\text{C} = 12x - 7x = 5x\]
3 – Réduire une expression
Réduire une expression, c'est l'écrire avec le moins de termes possible.
Propriété 2 (Règles d'or) :
\[x + x = 2x\]
\[x \times x = x^2\]
\[x \times x \times x = x^3\]
\[1 \times x = x\]
\[-1 \times x = -x\]
\[0 \times x = 0\]
Remarque : Pour réduire une expression, on commence par réduire les produits (multiplier les coefficients entre eux et les variables entre elles), puis on regroupe les termes de même nature et on factorise.
Exemple 5 :
- \(4x \times 5 = 20x\)
- \(2x \times 3x = 6x^2\)
- \(-3x - 5 + 4x - 7 = x - 12\)
- \(y + 3x - 5y + 6x = 9x - 4y\)
- \(-3x \times 4x + 2x \times 2x - 2 \times 0{,}5x = -12x^2 + 4x^2 - x = -8x^2 - x\)
- \(x^2 \times 8x + x \times 3y - 2x \times 4x^2 = 8x^3 + 3xy - 8x^3 = 3xy\)
Propriété 3 (Suppression des parenthèses) :
- Si une parenthèse est précédée d'un signe « \(+\) », on peut la supprimer sans changer les signes à l'intérieur.
- Si une parenthèse est précédée d'un signe « \(-\) », on supprime la parenthèse et on change tous les signes à l'intérieur.
- Si une parenthèse est précédée d'un facteur, on distribue le facteur à chaque terme de la parenthèse.
Exemple 6 :
\[\text{A} = 4 + (5a - 7) = 4 + 5a - 7 = 5a - 3\]
\[\text{B} = 2 - (5b - 7) + b = 2 - 5b + 7 + b = -4b + 9\]
\[\text{C} = (2c + 2) - 2c + 1 = 2c + 2 - 2c + 1 = 3\]
\[\text{D} = -(-4 - 5x) + x - 1 = 4 + 5x + x - 1 = 6x + 3\]
\[\text{E} = 2x(0{,}5x - 5) = x^2 - 10x\]
\[\text{F} = -2(t^2 - t) + t^2 = -2t^2 + 2t + t^2 = -t^2 + 2t\]
4 – Double distributivité
Pour développer un produit de deux sommes, on utilise la double distributivité.
Propriété 4 (Double distributivité) :
\[(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\]
Remarque : On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde parenthèse.
Remarque : Lorsqu'il y a des soustractions, on transforme la soustraction en addition de l'opposé pour bien gérer les signes.
Exemple 7 :
\[\text{A} = (3x + 1)(x + 4)\]
\(\text{A} = 3x \times x + 3x \times 4 + 1 \times x + 1 \times 4\)
\[\text{A} = 3x^2 + 12x + x + 4\]
\[\text{A} = 3x^2 + 13x + 4\]
\[\text{B} = (2x - 1)(3 - x)\]
\(\text{B} = 2x \times 3 + 2x \times (-x)\)\(+ (-1) \times 3 + (-1) \times (-x)\) \[\text{B} = 6x - 2x^2 - 3 + x\] \[\text{B} = -2x^2 + 7x - 3\] \[\text{C} = (x - 4)^2 = (x - 4)(x - 4)\] \(\text{C} = x \times x + x \times (-4)\)
\(+ (-4) \times x + (-4) \times (-4)\) \[\text{C} = x^2 - 4x - 4x + 16\] \[\text{C} = x^2 - 8x + 16\]
