1 – La notion d'équation
Définition 1 : Une équation est une égalité comportant un nombre inconnu, souvent désigné par une lettre (le plus souvent \(x\)). Ce nombre inconnu est appelé l'inconnue.
Exemple 1 :
- \(2x + 6 = 10\) est une équation d'inconnue \(x\).
- \(n^2 = 2n\) est une équation d'inconnue \(n\).
Définition 2 : Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Remarque : Une équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions.
Exemple 1 :
Est-ce que \(1\) est solution de \(2x + 6 = 10\) ? Est-ce que \(2\) est solution ?
- Pour \(x = 1\) : \(2 \times 1 + 6 = 8\). Or \(8 \neq 10\), donc \(1\) n'est pas solution.
- Pour \(x = 2\) : \(2 \times 2 + 6 = 10\). L'égalité est vraie, donc \(2\) est solution.
Exemple 2 :
Résoudre \(n^2 = 2n\).
- Pour \(n = 0\) : \(0^2 = 0\) et \(2 \times 0 = 0\). L'égalité est vraie, donc \(0\) est solution.
- Pour \(n = 2\) : \(2^2 = 4\) et \(2 \times 2 = 4\). L'égalité est vraie, donc \(2\) est solution.
Exemple 3 :
Exemples d'équations sans solution :
- \(0 \times x = 10\) : aucun nombre multiplié par \(0\) ne donne \(10\).
- \(x^2 = -1\) : aucun carré n'est négatif.
- \(\dfrac{1}{x} = 0\) : aucune fraction n'a pour résultat \(0\) quand le numérateur vaut \(1\).
Remarque : Pour les équations simples, on peut utiliser la technique de l'égalité à trou : on cherche la valeur manquante qui rend l'égalité vraie.
Exemple 4 :
a) \(2 + x = 6\)
\(2 + \ldots = 6\)
\(x = 4\)
b) \(5x = -45\)
\(5 \times \ldots = -45\)
\(x = -9\)
c) \(3x - 15 = 0\)
\(3 \times \ldots - 15 = 0\)
\(x = 5\)
d) \(x + 2x = 15\)
\(3 \times \ldots = 15\)
\(x = 5\)
2 – Techniques de résolution
Principe de la Balance : une équation est comme une balance en équilibre. Pour conserver l'équilibre, on doit effectuer la même opération des deux côtés.
Propriété 1 : Si on ajoute ou si on soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité.
Exemple 5 :
On soustrait \(8\)
On ajoute \(7\)
Remarque : Un terme qui « passe de l'autre côté » de l'égalité change de signe.
Propriété 2 : Si on multiplie ou si on divise les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul, on obtient une nouvelle égalité.
Exemple 6 :
On divise par \(3\)
On multiplie par \(2\)
Méthode : pour résoudre une équation, on isole l'inconnue d'un côté de l'égalité en utilisant les propriétés ci-dessus.
Exemple 7 :
\[2x + 5 = -3\]
\[2x + 5 - 5 = -3 - 5\]
\[2x = -8\]
\[\dfrac{2x}{2} = \dfrac{-8}{2}\]
\[x = -4\]
\[3x = 8 - x\]
\[3x + x = 8 - x + x\]
\[4x = 8\]
\[\dfrac{4x}{4} = \dfrac{8}{4}\]
\[x = 2\]
3 – Résoudre un problème
Pour résoudre un problème à l'aide d'une équation, on suit les étapes suivantes :
- Choix de l'inconnue : on identifie la grandeur cherchée et on la désigne par une lettre.
- Mise en équation : on traduit l'énoncé par une équation.
- Résolution : on résout l'équation.
- Conclusion : on vérifie et on rédige la réponse.
Problème :
Alice et Bob vont au casino avec la même somme d'argent. Alice triple sa mise, puis perd 10 €. Bob double sa mise, puis gagne 5 €. À la fin, ils ont la même somme. Quelle était leur mise de départ ?
Inconnue : on appelle \(x\) la somme misée au départ (en €).
Mise en équation :
- Alice : elle triple sa mise puis perd 10 € \(\rightarrow\) \(3x - 10\)
- Bob : il double sa mise puis gagne 5 € \(\rightarrow\) \(2x + 5\)
- Ils ont la même somme : \(3x - 10 = 2x + 5\)
Résolution :
\[3x - 10 = 2x + 5\]
\[3x - 10 - 2x = 2x + 5 - 2x\]
\[x - 10 = 5\]
\[x - 10 + 10 = 5 + 10\]
\[x = 15\]
Conclusion : La mise de départ était de \(15\) €. On vérifie : Alice a \(3 \times 15 - 10 = 35\) € et Bob a \(2 \times 15 + 5 = 35\) €. Ils ont bien la même somme.
