1 – Symétrie axiale
Définition 1 :
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite.
Cette droite est appelée axe de symétrie.
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite.
Cette droite est appelée axe de symétrie.
Exemple 1 :
Les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à la droite \((d)\). La droite \((d)\) est la médiatrice du segment \([MM']\).
Exemple 2 : Construire les symétriques des figures suivantes.
● Avec quadrillage :
Propriété 1 :
Deux figures symétriques par rapport à un axe ont :
● les mêmes longueurs ;
● le même alignement ;
● les mêmes angles ;
● la même aire.
Deux figures symétriques par rapport à un axe ont :
● les mêmes longueurs ;
● le même alignement ;
● les mêmes angles ;
● la même aire.
Exemple 3 :
Les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont symétriques par rapport à la droite \((d)\).On a donc : \(AB = A'B'\), \(BC = B'C'\), \(AC = A'C'\).
Les angles sont également conservés : \(\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}\),
\(\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}\),
\(\widehat{BCA} = \widehat{B'C'A'}\).
2 – Symétrie centrale
Définition 2 :
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent par un demi-tour autour de ce point.
Ce point est appelé centre de symétrie.
Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent par un demi-tour autour de ce point.
Ce point est appelé centre de symétrie.
Exemple 4 :
Les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport au point \(O\). Le point \(O\) est le milieu du segment \([MM']\).
Exemple 5 : Construire les symétriques des figures suivantes.
● Avec quadrillage :
Propriété 2 :
Deux figures symétriques par rapport à un point ont :
● les mêmes longueurs ;
● le même alignement ;
● les mêmes angles ;
● la même aire.
Deux figures symétriques par rapport à un point ont :
● les mêmes longueurs ;
● le même alignement ;
● les mêmes angles ;
● la même aire.
Exemple 6 : Déterminer \(PK\) et l'angle \(\widehat{KPN}\).
Par conservation des longueurs : \(PK = QR\).
Par conservation des angles : \(\widehat{KPN} = \widehat{RQS}\).
3 – Axes et centre de symétrie
Définition 3 :
● Une droite \((d)\) est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à \((d)\) est la figure elle-même. On peut le vérifier par pliage.
● Un point \(O\) est un centre de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à \(O\) est la figure elle-même. On peut le vérifier par un demi-tour.
● Une droite \((d)\) est un axe de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à \((d)\) est la figure elle-même. On peut le vérifier par pliage.
● Un point \(O\) est un centre de symétrie d'une figure si le symétrique de la figure par rapport à \(O\) est la figure elle-même. On peut le vérifier par un demi-tour.
Exemple 7 :
● Axe de symétrie : si on plie la figure le long de l'axe, les deux parties se superposent.● Centre de symétrie : si on effectue un demi-tour autour du centre, la figure se superpose à elle-même.
Remarques :
● Une figure n'a pas toujours d'axe ou de centre de symétrie.
● Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.
● Une figure n'a pas toujours d'axe ou de centre de symétrie.
● Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.
Exemple 8 : Déterminer les axes et centres de symétrie des figures suivantes.
Tableau récapitulatif des figures géométriques avec leurs éléments de symétrie :
| Figure | Illustration | Axe(s) de symétrie | Centre de symétrie |
|---|---|---|---|
| Segment |  |
\(1\) axe : la médiatrice du segment | \(1\) centre : le milieu du segment |
| Angle |  |
\(1\) axe : la bissectrice de l'angle | Pas de centre |
| Triangle isocèle |  |
\(1\) axe : la bissectrice de l'angle principal (= médiatrice de la base) | Pas de centre |
| Triangle équilatéral |  |
\(3\) axes : les \(3\) bissectrices (= \(3\) médiatrices) | Pas de centre |
| Rectangle |  |
\(2\) axes : les \(2\) médiatrices des côtés | \(1\) centre : l'intersection des diagonales |
| Losange |  |
\(2\) axes : les \(2\) diagonales (= bissectrices) | \(1\) centre : l'intersection des diagonales |
| Carré |  |
\(4\) axes : \(2\) médiatrices + \(2\) diagonales (= bissectrices) | \(1\) centre : l'intersection des diagonales |
| Cercle |  |
Une infinité d'axes : toute droite passant par le centre | \(1\) centre : le centre du cercle |
