1 – Vocabulaire sur les angles
Définition 1 :
Un angle est formé par deux demi-droites sécantes de même sommet. La mesure d'un angle correspond à l'écartement entre ses deux côtés.
Un angle est formé par deux demi-droites sécantes de même sommet. La mesure d'un angle correspond à l'écartement entre ses deux côtés.
Remarques :
● Les deux demi-droites sont appelées les côtés de l'angle et le point d'intersection est le sommet.
● La mesure d'un angle s'exprime en degré (noté \({^\circ}\)). Un tour complet mesure \(360{^\circ}\).
● On utilise un rapporteur pour mesurer un angle.
● On note un angle avec un chapeau : \(\widehat{BAC}\). La lettre centrale désigne toujours le sommet.
● Les deux demi-droites sont appelées les côtés de l'angle et le point d'intersection est le sommet.
● La mesure d'un angle s'exprime en degré (noté \({^\circ}\)). Un tour complet mesure \(360{^\circ}\).
● On utilise un rapporteur pour mesurer un angle.
● On note un angle avec un chapeau : \(\widehat{BAC}\). La lettre centrale désigne toujours le sommet.
Exemple 1 :
Angle quelconque :
\(\widehat{BAC} = 62{^\circ}\)
Angle droit :
\(\hat{A} = 90{^\circ}\)
Angle plat :
\(\widehat{xOy} = 180{^\circ}\)
Vocabulaire :
● Un angle aigu mesure entre \(0{^\circ}\) et \(90{^\circ}\).
● Un angle obtu mesure entre \(90{^\circ}\) et \(180{^\circ}\).
● Un angle rentrant mesure entre \(180{^\circ}\) et \(360{^\circ}\).
● Un angle aigu mesure entre \(0{^\circ}\) et \(90{^\circ}\).
● Un angle obtu mesure entre \(90{^\circ}\) et \(180{^\circ}\).
● Un angle rentrant mesure entre \(180{^\circ}\) et \(360{^\circ}\).
Définition 2 :
● Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à \(90{^\circ}\).
● Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à \(180{^\circ}\).
● Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à \(90{^\circ}\).
● Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à \(180{^\circ}\).
Exemple 2 :
Angles complémentaires :
\(\widehat{BAC} + \widehat{GEF} = 34{^\circ} + 56{^\circ}\)
\(= 90{^\circ}\)
\(= 90{^\circ}\)
Angles supplémentaires :
\(\widehat{HIJ} + \widehat{KLM} = 50{^\circ} + 130{^\circ}\)
\(= 180{^\circ}\)
\(= 180{^\circ}\)
Définition 3 :
● Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
● Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
● Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
● Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Exemple 3 :
Angles adjacents \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{CAD}\) :
Sommet commun : \(A\).
Côté commun : \([AC)\).
Situés de part et d'autre de \([AC)\).
Côté commun : \([AC)\).
Situés de part et d'autre de \([AC)\).
Angles opposés \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{DOE}\) :
Sommet commun : \(O\).
Les côtés se prolongent.
Symétriques par rapport à \(O\).
Les côtés se prolongent.
Symétriques par rapport à \(O\).
Remarque : Voici des configurations qui ne sont pas des angles opposés par le sommet :
Pas de sommet commun.
Pas de sommet commun.
Ils sont l'un dans l'autre.
Définition 4 :
Lorsque deux droites sont coupées par une sécante :
● Deux angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante, à l'intérieur des deux droites.
● Deux angles correspondants sont situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des deux droites.
Lorsque deux droites sont coupées par une sécante :
● Deux angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la sécante, à l'intérieur des deux droites.
● Deux angles correspondants sont situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des deux droites.
Exemple 4 :
Angles alternes-internes :
Angles correspondants :
2 – Propriétés sur la mesure des angles
Propriété 1 :
Deux droites sécantes forment \(4\) angles :
● Deux angles adjacents sont supplémentaires (leur somme vaut \(180{^\circ}\)).
● Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
● Deux angles adjacents sont supplémentaires (leur somme vaut \(180{^\circ}\)).
● Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Exemple 5 : On sait que \(\widehat{BAC} = 123{^\circ}\). Déterminer les angles restants.
Propriété 2 :
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante :
● Les angles alternes-internes sont égaux.
● Les angles correspondants sont égaux.
● Les angles alternes-internes sont égaux.
● Les angles correspondants sont égaux.
Exemple 6 :
● \(\widehat{zEy}\) et \(\widehat{zGt}\) sont correspondants donc : \[\widehat{zEy} = 72{^\circ}\] ● \(\widehat{vGw}\) et \(\widehat{zEy}\) sont alternes-internes donc : \[\widehat{vGw} = 72{^\circ}\]
Propriété 3 (réciproque) :
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles.
Exemple 7 :
Les angles \(\widehat{BAD}\) et \(\widehat{xBz}\) sont alternes-internes et égaux.
Donc \((AD) // (BC)\).
