1 – Généralités
a) Définition
Définition 1 :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
Exemple 1 :
\(ABCD\) est un parallélogramme :
\(ABCD\) est un trapèze :
b) Propriétés
Propriété 1 :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
(1) Ses côtés opposés sont de même longueur.
(2) Ses angles opposés sont de même mesure.
(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu.
(4) Il admet un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :
(1) Ses côtés opposés sont de même longueur.
(2) Ses angles opposés sont de même mesure.
(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu.
(4) Il admet un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Exemple 2 :
Vérifications :
(1) \(AB = CD = 4\) cm et \(AD = BC = 3{,}2\) cm
(2) \(\hat{A} = \hat{C} = 63{^\circ}\) et \(\hat{B} = \hat{D} = 117{^\circ}\)
(3) \(BI = ID = 2\) cm et \(AI = IC = 3{,}1\) cm
(4) \(I\) est le centre de symétrie.
(1) \(AB = CD = 4\) cm et \(AD = BC = 3{,}2\) cm
(2) \(\hat{A} = \hat{C} = 63{^\circ}\) et \(\hat{B} = \hat{D} = 117{^\circ}\)
(3) \(BI = ID = 2\) cm et \(AI = IC = 3{,}1\) cm
(4) \(I\) est le centre de symétrie.
Propriété 2 (réciproque) :
Un quadrilatère est un parallélogramme s'il vérifie l'une des quatre propriétés suivantes :
(1) Ses côtés opposés sont de même longueur.
(2) Ses angles opposés sont de même mesure.
(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu.
(4) Il admet un centre de symétrie.
Un quadrilatère est un parallélogramme s'il vérifie l'une des quatre propriétés suivantes :
(1) Ses côtés opposés sont de même longueur.
(2) Ses angles opposés sont de même mesure.
(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu.
(4) Il admet un centre de symétrie.
Propriété 3 :
Un quadrilatère est un parallélogramme s'il possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
Un quadrilatère est un parallélogramme s'il possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
Exemple 3 :
c) Construction
Exemple 4 : Construction d'un parallélogramme connaissant 3 sommets.
Méthode à la règle et au compas :On connaît les sommets \(A\), \(B\) et \(C\). On cherche le sommet \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Exemple 5 : Construction d'un parallélogramme à partir de son centre.
Méthode à la règle et au compas :On trace les droites passant par le centre, puis on construit les symétriques des sommets par rapport au centre.
d) Aire d'un parallélogramme
Propriété 4 :
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur : \[\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}\]
L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur : \[\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur}\]
Exemple 6 :
\(AB = 5\) cm (base) et \(HD = 3\) cm (hauteur).
\[\text{Aire} = 5 \times 3 = 15 \text{ cm}^2\]
\[\text{Aire} = 5 \times 3 = 15 \text{ cm}^2\]
2 – Parallélogrammes particuliers
a) Le rectangle 
Définition 2 :
Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Remarques :
● Un rectangle est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles).
● Il suffit de vérifier que 3 angles sont droits (le 4e l'est automatiquement).
● Pour un parallélogramme, il suffit de vérifier qu'un seul angle est droit.
● Un rectangle est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles).
● Il suffit de vérifier que 3 angles sont droits (le 4e l'est automatiquement).
● Pour un parallélogramme, il suffit de vérifier qu'un seul angle est droit.
Propriété 5 :
Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Les diagonales d'un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Remarque : Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
Exemple 7 :
\(AC = BD = 4\) cm
\(IA = IB = IC = ID = 2\) cm
\(IA = IB = IC = ID = 2\) cm
b) Le losange 
Définition 3 :
Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.
Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.
Remarques :
● Un losange est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur).
● Pour un parallélogramme, il suffit de vérifier que 2 côtés consécutifs sont de même longueur.
● Un losange est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur).
● Pour un parallélogramme, il suffit de vérifier que 2 côtés consécutifs sont de même longueur.
Propriété 6 :
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Remarque : Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Exemple 7 :
Les diagonales sont perpendiculaires.
\(IA = IC = 2\) cm
\(IB = ID = 1\) cm
\(IA = IC = 2\) cm
\(IB = ID = 1\) cm
c) Le carré 
Définition 4 :
Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.
Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.
Remarque : Un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Propriété 5 :
Les diagonales d'un carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Les diagonales d'un carré sont de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Remarque : Réciproquement, si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c'est un carré.
Exemple 7 :
\(AC = BD = 5\) cm
Les diagonales sont perpendiculaires.
\(IA = IB = IC = ID = 2{,}5\) cm
Les diagonales sont perpendiculaires.
\(IA = IB = IC = ID = 2{,}5\) cm
3 – Schéma récapitulatif
Carte mentale récapitulant les propriétés des parallélogrammes, rectangles, losanges et carrés :
