1 – Prisme droit
Définition 1 :
Un prisme droit est un solide qui possède :
● deux bases qui sont des polygones superposables et parallèles ;
● des faces latérales qui sont des rectangles.
Un prisme droit est un solide qui possède :
● deux bases qui sont des polygones superposables et parallèles ;
● des faces latérales qui sont des rectangles.
Remarques :
● Les faces latérales ont une dimension commune : la hauteur du prisme.
● Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés du polygone de base.
● Les faces latérales ont une dimension commune : la hauteur du prisme.
● Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés du polygone de base.
Exemple 1 :
Prisme triangulaire :
● Bases : triangles (3 côtés)
● 5 faces (dont 3 latérales)
● 9 arêtes
● 6 sommets
● Bases : triangles (3 côtés)
● 5 faces (dont 3 latérales)
● 9 arêtes
● 6 sommets
Prisme pentagonal :
● Bases : pentagones (5 côtés)
● 7 faces (dont 5 latérales)
● 15 arêtes
● 10 sommets
● Bases : pentagones (5 côtés)
● 7 faces (dont 5 latérales)
● 15 arêtes
● 10 sommets
Exemple 2 : Pavé droit et son patron.
Remarque : Il existe plusieurs possibilités de patron pour un même prisme.
2 – Cylindre
Définition 2 :
Un cylindre est un solide qui possède :
● deux bases qui sont des disques superposables et parallèles ;
● une surface latérale qui, une fois dépliée, est un rectangle.
Un cylindre est un solide qui possède :
● deux bases qui sont des disques superposables et parallèles ;
● une surface latérale qui, une fois dépliée, est un rectangle.
Remarques :
● Le rayon du cylindre est le rayon des disques de base.
● La hauteur du cylindre est la distance entre les centres des deux disques.
● Le rayon du cylindre est le rayon des disques de base.
● La hauteur du cylindre est la distance entre les centres des deux disques.
Exemple 3 : Cylindre de rayon \(r = 4\) cm et de hauteur \(h = 8\) cm.
1. Périmètre de la base :
\[P = 2 \times \pi \times r = 2\pi \times 4 = 8\pi \approx 25{,}12 \text{ cm}\] 2. Aire de la surface latérale :
\[\mathcal{A} = 25{,}12 \times 8 \approx 200{,}96 \text{ cm}^2\]
\[P = 2 \times \pi \times r = 2\pi \times 4 = 8\pi \approx 25{,}12 \text{ cm}\] 2. Aire de la surface latérale :
\[\mathcal{A} = 25{,}12 \times 8 \approx 200{,}96 \text{ cm}^2\]
Exemple 4 : Patron d'un cylindre de rayon \(r = 1\) cm et de hauteur \(h = 3\) cm.
3 – Volumes
Définition 3 :
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe.
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe.
Remarque : Le volume s'exprime à l'aide d'une unité de volume. Il correspond au nombre d'unités nécessaires pour remplir le solide.
Exemple 5 : Volume du Rubik's cube.
Unités de volumes :
● Les unités de volume sont : cm³, m³, km³...
● Dans le Système International, l'unité de volume est le mètre cube (1 m³ = 1 m × 1 m × 1 m).
● Le facteur entre chaque préfixe est 1 000 : par exemple 1 cm³ = 1 000 mm³.
● Le litre est aussi une unité de volume : 1 L = 1 dm³ et 1 m³ = 1 000 L.
● 1 L d'eau pèse environ 1 kg.
● On utilise aussi : hL (hectolitre), cL (centilitre), mL (millilitre).
● Les unités de volume sont : cm³, m³, km³...
● Dans le Système International, l'unité de volume est le mètre cube (1 m³ = 1 m × 1 m × 1 m).
● Le facteur entre chaque préfixe est 1 000 : par exemple 1 cm³ = 1 000 mm³.
● Le litre est aussi une unité de volume : 1 L = 1 dm³ et 1 m³ = 1 000 L.
● 1 L d'eau pèse environ 1 kg.
● On utilise aussi : hL (hectolitre), cL (centilitre), mL (millilitre).
Remarque : Pour convertir les volumes, on peut utiliser un tableau de conversion (chaque unité occupe 3 colonnes).
Exemple 6 : Conversions.
● \(25 \text{ dam}^3 = 25\,000 \text{ m}^3\)● \(453{,}7 \text{ cm}^3 = 0{,}000\,453\,7 \text{ m}^3\)
● \(12 \text{ L} = 1\,200 \text{ cL} = 12\,000 \text{ cm}^3\)
● \(12 \text{ L} = 0{,}012 \text{ m}^3\)
Propriété 1 :
Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur : \[\text{Volume} = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}\]
Le volume d'un prisme droit ou d'un cylindre est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur : \[\text{Volume} = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}\]
Remarques :
● Cylindre : l'aire de la base est \(\pi \times r^2\), donc : \[V = \pi \times r^2 \times h\]
● Prisme triangulaire : l'aire de la base est \(\dfrac{B \times H}{2}\), donc :
\[V = \dfrac{B \times H}{2} \times h\]
● Pavé droit :
\[V = L \times l \times h\]
● Cylindre : l'aire de la base est \(\pi \times r^2\), donc : \[V = \pi \times r^2 \times h\]
Exemple 7 : Volume d'un cylindre.
\[V = \pi \times r^2 \times h\]
\[V = \pi \times 5^2 \times 6\]
\[V \approx 3{,}14 \times 150\]
\[V \approx 471 \text{ cm}^3\]
Exemple 8 : Volume d'un prisme triangulaire.
Aire de la base :
\[\mathcal{A} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ cm}^2\] Volume :
\[V = 6 \times 7 = 42 \text{ cm}^3\]
\[\mathcal{A} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ cm}^2\] Volume :
\[V = 6 \times 7 = 42 \text{ cm}^3\]
Exemple 9 : Brique de lait.
\[V = 9{,}4 \times 5{,}6 \times 19\]
\[V \approx 1\,000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\]
