1 – Division euclidienne
On considère \(a\) et \(b\) deux nombres entiers.
Définition 1 :
Faire la division euclidienne de \(a\) par \(b\), c'est trouver deux nombres entiers \(q\) et \(r\) tel que \(a = b \times q + r\) avec \(r\) plus petit que \(b\) : \(r < b\).
Faire la division euclidienne de \(a\) par \(b\), c'est trouver deux nombres entiers \(q\) et \(r\) tel que \(a = b \times q + r\) avec \(r\) plus petit que \(b\) : \(r < b\).
Remarque : Pour trouver les nombres \(q\) et \(r\), on peut « poser » la division.
● \(a\) est appelé le dividende.
● \(b\) est appelé le diviseur.
● \(q\) est appelé le quotient.
● \(r\) est appelé le reste.
● Le quotient et le reste d'une division euclidienne sont uniques.
● \(b\) est appelé le diviseur.
● \(q\) est appelé le quotient.
● \(r\) est appelé le reste.
● Le quotient et le reste d'une division euclidienne sont uniques.
Exemple 1 : Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :
● \(183\) par \(12\) :
On peut donc écrire :
\[183 = 12 \times 15 + 3\]
Quotient : \(q = 15\)
Reste : \(r = 3\)
Reste : \(r = 3\)
● \(208\) par \(10\) :
Sans poser la division on peut faire mentalement \(20 \times 10 = 200\) et il reste \(8\) : \[208 = 10 \times 20 + 8\] Quotient : \(q = 20\)
Reste : \(r = 8\)
Sans poser la division on peut faire mentalement \(20 \times 10 = 200\) et il reste \(8\) : \[208 = 10 \times 20 + 8\] Quotient : \(q = 20\)
Reste : \(r = 8\)
● \(600\) par \(25\) :
\[600 = 25 \times 24 + 0\]
Quotient : \(q = 24\)
Reste : \(r = 0\)
Reste : \(r = 0\)
Calculatrice : Pour effectuer une division euclidienne à la calculatrice on utilise la touche \(\vdash\).
Remarque : La division euclidienne permet de résoudre des problèmes de partage.
Exemple 2 :
Pour la réalisation de fraisiers individuels, un pâtissier dispose de \(10\) barquettes de \(47\) fraises. Il doit utiliser \(11\) fraises par gâteaux. Combien de gâteaux pourra-t-il réaliser ? Combien de fraises restera-t-il ?
● \(47 \times 10 = 470\) fraises au total.
● On fait la division euclidienne de \(470\) par \(11\) :
\(470 = 11 \times 42 + 8\)
● Il pourra réaliser \(42\) gâteaux et manger les \(8\) fraises restantes.
● On fait la division euclidienne de \(470\) par \(11\) :
\(470 = 11 \times 42 + 8\)
● Il pourra réaliser \(42\) gâteaux et manger les \(8\) fraises restantes.
2 – Multiples et diviseurs
Définition 2 :
Lorsque le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est égal à \(0\),
on dit que \(a\) est un multiple de \(b\) et que \(b\) est un diviseur de \(a\).
Lorsque le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est égal à \(0\),
on dit que \(a\) est un multiple de \(b\) et que \(b\) est un diviseur de \(a\).
Remarque : On dit également que \(a\) est divisible par \(b\) et que \(b\) divise \(a\).
Exemple 3 :
On a vu (exemple 1) que le reste de la division euclidienne de \(600\) par \(25\) est \(0\).Ainsi, \(600\) est un multiple de \(25\) et \(25\) est un diviseur de \(600\).
On dit aussi que \(600\) est divisible par \(25\) et que \(25\) divise \(600\).
Critères de divisibilité :
- Par \(10\) : le nombre se termine par \(0\). Ex : \(50 \; ; 180 \; ; 1000\)
- Par \(5\) : le nombre se termine par \(0\) ou \(5\). Ex : \(50 \; ; 65 \; ; 125\)
- Par \(2\) : le nombre se termine par \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\). Ex : \(62 \; ; 688 \; ; 210\)
- Par \(3\) : la somme de ses chiffres est divisible par \(3\). Ex : \(21 \; ; 450 \; ; 333\)
- Par \(4\) : les deux derniers chiffres forment un multiple de \(4\). Ex : \(116 \; ; 460 \; ; 224\)
- Par \(9\) : la somme de ses chiffres est divisible par \(9\). Ex : \(81 \; ; 459 \; ; 972\)
3 – Nombres premiers
Définition 3 :
Un nombre premier est un nombre qui a deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Un nombre premier est un nombre qui a deux diviseurs : \(1\) et lui-même.
Exemple 4 :
Les dix premiers nombres premiers sont : \(2 \; ; 3 \; ; 5 \; ; 7 \; ; 11 \; ; 13 \; ; 17 \; ; 19 \; ; 23 \; ; 29\).
Remarques :
● \(1\) n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur : lui-même.
● \(0\) n'est pas premier car il possède une infinité de diviseurs : il est divisible par n'importe quel nombre.
● \(1\) n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur : lui-même.
● \(0\) n'est pas premier car il possède une infinité de diviseurs : il est divisible par n'importe quel nombre.
Propriété 1 :
Tout nombre entier peut se décomposer de façon unique comme un produit de nombres premiers.
Tout nombre entier peut se décomposer de façon unique comme un produit de nombres premiers.
Exemple 5 : Décomposer \(30\) et \(72\) en produit de facteurs premiers.
● \(30 = 3 \times 10 = 3 \times 2 \times 5\)\(= 2 \times 3 \times 5\).
● \(72 = 8 \times 9\)
\(= 2 \times 4 \times 3 \times 3\)
\(= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 3^{2}\).
