1 – Écritures fractionnaires et Fractions
Nous avons déjà vu que le quotient est le résultat d'une division. Lorsque cette division a un reste égal à \(0\), ce quotient possède une écriture décimale mais dans certains cas, la division « ne s'arrête jamais » et donc pour avoir une écriture exacte de ce quotient on utilise une écriture fractionnaire : Le résultat de \(a \div b\) s'écrit alors \(\dfrac{a}{b}\).
Exemple 1 : Effectue la division \(12{,}5 \div 11\).
● \(12{,}5 \div 11 = 1{,}1363636\ldots = 1{,}1\underline{36}\)
● On remarque que la division ne s'arrête pas.
● Pour noter le résultat de ce quotient on doit utiliser l'écriture fractionnaire : \[12{,}5 \div 11 = \dfrac{12{,}5}{11}\]
● On remarque que la division ne s'arrête pas.
● Pour noter le résultat de ce quotient on doit utiliser l'écriture fractionnaire : \[12{,}5 \div 11 = \dfrac{12{,}5}{11}\]
Définition 1 :
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers \(a\) et \(b\). Elle est notée \(\dfrac{a}{b}\).
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers \(a\) et \(b\). Elle est notée \(\dfrac{a}{b}\).
Vocabulaire : \(a\) est appelé le numérateur et \(b\) le dénominateur.
Remarques :
● Comme on ne peut pas diviser par \(0\), on doit avoir \(b\) différent de \(0\) : \(b \neq 0\).
● Le nombre \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui vérifie \(\dfrac{a}{b} \times b = a\).
● Comme on ne peut pas diviser par \(0\), on doit avoir \(b\) différent de \(0\) : \(b \neq 0\).
● Le nombre \(\dfrac{a}{b}\) est le nombre qui vérifie \(\dfrac{a}{b} \times b = a\).
Exemple 2 : Quelques exemples de fractions :
Numérateur : \(1\) — Dénominateur : \(8\)
\(\dfrac{1}{8} \times 8 = 1\)
Numérateur : \(3\) — Dénominateur : \(4\)
\(\dfrac{3}{4} \times 4 = 3\)
Numérateur : \(14\) — Dénominateur : \(3\)
\(\dfrac{14}{3} \times 3 = 14\)
2 – Égalité de deux fractions
Propriété 1 :
Dans un quotient, lorsque l'on multiplie ou que l'on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul alors on obtient une nouvelle écriture fractionnaire de ce quotient.
Dans un quotient, lorsque l'on multiplie ou que l'on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul alors on obtient une nouvelle écriture fractionnaire de ce quotient.
Exemple 3 :
On considère la fraction \(A = \dfrac{8}{20}\).1. Que peut-on dire des fractions \(\dfrac{24}{60}\) et \(\dfrac{4}{10}\) ?
Elles sont égales à \(A\). Dans la première le numérateur et le dénominateur ont été multipliés par \(3\) et dans la deuxième ils ont été divisés par \(2\) :
\(\dfrac{24}{60} = \dfrac{3 \times 8}{3 \times 20}\)
et \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{8 \div 2}{20 \div 2}\)
2. Donner plusieurs autres écritures fractionnaires différentes de \(A\) :
\(A = \dfrac{2}{5} = \dfrac{16}{40} = \dfrac{20}{50}\)
\(= \dfrac{40}{100} = \dfrac{2000}{5000} = \ldots\)
Exemple 4 : Transformer sous forme de fraction les écritures fractionnaires suivantes :
● \(\dfrac{2{,}5}{7} = \dfrac{2 \times 2{,}5}{2 \times 7}\)
\(= \dfrac{5}{14}\)
\(= \dfrac{5}{14}\)
● \(\dfrac{4{,}8}{2{,}5} = \dfrac{10 \times 4{,}8}{10 \times 2{,}5}\)
\(= \dfrac{48}{25}\)
\(= \dfrac{48}{25}\)
● \(\dfrac{78{,}45}{125{,}9} = \dfrac{100 \times 78{,}45}{100 \times 125{,}9}\)
\(= \dfrac{7\,845}{12\,590}\)
\(= \dfrac{7\,845}{12\,590}\)
Exemple 5 : Effectuer les divisions suivantes :
● \(9 \div 0{,}4\) : \(\dfrac{9}{0{,}4} = \dfrac{9 \times 10}{0{,}4 \times 10}\)
\(= \dfrac{90}{4} = \dfrac{90 \div 2}{4 \div 2}\)
\(= \dfrac{45}{2} = 22{,}5\)
● \(25 \div 0{,}8\) : \(\dfrac{25}{0{,}8} = \dfrac{25 \times 10}{0{,}8 \times 10}\)
\(= \dfrac{250}{8}\)
On peut alors poser la division \(250 \div 8\) : \[25 \div 0{,}8 = 250 \div 8 = 31{,}25\]
\(= \dfrac{90}{4} = \dfrac{90 \div 2}{4 \div 2}\)
\(= \dfrac{45}{2} = 22{,}5\)
● \(25 \div 0{,}8\) : \(\dfrac{25}{0{,}8} = \dfrac{25 \times 10}{0{,}8 \times 10}\)
\(= \dfrac{250}{8}\)
On peut alors poser la division \(250 \div 8\) : \[25 \div 0{,}8 = 250 \div 8 = 31{,}25\]
Définition 2 :
Simplifier une fraction, c'est trouver la fraction égale avec le dénominateur le plus petit possible.
Simplifier une fraction, c'est trouver la fraction égale avec le dénominateur le plus petit possible.
Exemple 6 : Simplifier les fractions suivantes :
● \(\dfrac{150}{250} = \dfrac{150 \div 10}{250 \div 10}\)\(= \dfrac{15}{25} = \dfrac{15 \div 5}{25 \div 5} = \dfrac{3}{5}\)
● \(\dfrac{28}{42} = \dfrac{28 \div 2}{42 \div 2}\)
\(= \dfrac{14}{21} = \dfrac{14 \div 7}{21 \div 7} = \dfrac{2}{3}\)
Remarque : Pour simplifier une fraction on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers.
Exemple 7 : Simplifier la fraction \(\dfrac{60}{84}\).
\[\dfrac{60}{84} = \dfrac{6 \times 10}{2 \times 42} = \dfrac{2 \times 3 \times 10}{2 \times 42} = \dfrac{2 \times 3 \times 2 \times 5}{2 \times 2 \times 21} = \dfrac{2 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 7} = \dfrac{5}{7}\]
3 – Comparaison de deux fractions
Propriété 2 :
● Si le numérateur est plus grand que le dénominateur alors la fraction est supérieure à \(1\).
● Si le dénominateur est plus grand que le numérateur alors la fraction est inférieure à \(1\).
● Si le numérateur est plus grand que le dénominateur alors la fraction est supérieure à \(1\).
● Si le dénominateur est plus grand que le numérateur alors la fraction est inférieure à \(1\).
Exemple 8 : Comparer les fractions \(\dfrac{78}{127}\) et \(\dfrac{95}{61}\).
● On a \(\dfrac{78}{127} < 1\) car le numérateur est plus petit que le dénominateur : \(78 < 127\).● On a \(\dfrac{95}{61} > 1\) car le numérateur est plus grand que le dénominateur : \(95 > 61\).
● On a donc : \(\dfrac{78}{127} < \dfrac{95}{61}\).
Propriété 3 :
● Si deux fractions ont le même dénominateur alors la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.
● Si deux fractions ont le même numérateur alors la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur.
● Si deux fractions ont le même dénominateur alors la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.
● Si deux fractions ont le même numérateur alors la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur.
Exemple 9 : Comparer les fractions suivantes.
● \(\dfrac{11}{7}\) et \(\dfrac{15}{7}\) : On a \(\dfrac{11}{7} < \dfrac{15}{7}\) car les fractions ont le même dénominateur et \(11 < 15\).● \(\dfrac{1}{9}\) et \(\dfrac{1}{13}\) : On a \(\dfrac{1}{13} < \dfrac{1}{9}\) car les fractions ont le même numérateur et \(13 > 9\).
Remarque : Pour comparer deux fractions quelconques on peut transformer leur écriture fractionnaire afin qu'elles aient le même numérateur ou le même dénominateur.
Exemple 10 : Comparer les fractions suivantes.
● \(\dfrac{4}{5}\) et \(\dfrac{18}{25}\) : On met les deux fractions sur le même dénominateur : \(\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 5}{5 \times 5}\)\(= \dfrac{20}{25}\).
Comme \(18 < 20\), on a \(\dfrac{18}{25} < \dfrac{20}{25}\) et donc \(\dfrac{18}{25} < \dfrac{4}{5}\).
● \(\dfrac{2}{7}\) et \(\dfrac{6}{23}\) : On met les fractions avec un même numérateur : \(\dfrac{2}{7} = \dfrac{2 \times 3}{7 \times 3}\)
\(= \dfrac{6}{21}\).
Comme \(23 > 21\), on a \(\dfrac{6}{23} < \dfrac{6}{21}\) et donc \(\dfrac{6}{23} < \dfrac{2}{7}\).
● \(\dfrac{11}{3}\) et \(4\) : On met les deux fractions sur le même dénominateur : \(4 = \dfrac{4}{1} = \dfrac{4 \times 3}{1 \times 3}\)
\(= \dfrac{12}{3}\).
Comme \(11 < 12\), on a \(\dfrac{11}{3} < \dfrac{12}{3}\) et donc \(\dfrac{11}{3} < 4\).
4 – Fraction, proportion et Pourcentages
Les fractions peuvent être utilisées pour exprimer une proportion.
Propriété 4 :
Pour calculer la proportion d'une quantité, on multiplie la proportion et la quantité.
Pour calculer la proportion d'une quantité, on multiplie la proportion et la quantité.
Exemple 11 :
Au collège, \(\dfrac{7}{8}\) des élèves ont un téléphone portable. Sachant qu'il y a \(552\) élèves au collège, combien possèdent un téléphone ?
Cela signifie que sur \(8\) collégiens, \(7\) possèdent un téléphone portable.
On calcule : \(\dfrac{7}{8} \times 552 = \dfrac{7 \times 552}{8}\)
\(= 483\).
Dans le collège, \(483\) élèves ont un téléphone portable.
Cela signifie que sur \(8\) collégiens, \(7\) possèdent un téléphone portable.
On calcule : \(\dfrac{7}{8} \times 552 = \dfrac{7 \times 552}{8}\)
\(= 483\).
Dans le collège, \(483\) élèves ont un téléphone portable.
Définition 3 :
Un pourcentage est une proportion par rapport à \(100\) : \(p\,\% = \dfrac{p}{100}\).
Un pourcentage est une proportion par rapport à \(100\) : \(p\,\% = \dfrac{p}{100}\).
Exemple 12 :
1. À quel pourcentage correspond la proportion \(\dfrac{3}{20}\) ?\(\dfrac{3}{20} = \dfrac{3 \times 5}{20 \times 5} = \dfrac{15}{100}\)
c'est-à-dire \(15\,\%\).
2. À quelle proportion correspond le pourcentage \(4\,\%\) ?
\(4\,\%\) correspond à \(\dfrac{4}{100} = \dfrac{4 \div 4}{100 \div 4}\)
\(= \dfrac{1}{25}\).
Proportions à connaître :
| Représentation | Fraction | Nombre décimal | Fraction de \(100\) | Pourcentage |
|---|---|---|---|---|
 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0{,}5\) | \(\dfrac{50}{100}\) | \(50\,\%\) |
 | \(\dfrac{1}{3}\) | \(0{,}3333\ldots\) | \(\dfrac{33{,}33\ldots}{100}\) | \(33{,}33\ldots\,\%\) |
 | \(\dfrac{1}{4}\) | \(0{,}25\) | \(\dfrac{25}{100}\) | \(25\,\%\) |
 | \(\dfrac{1}{5}\) | \(0{,}2\) | \(\dfrac{20}{100}\) | \(20\,\%\) |
 | \(\dfrac{1}{6}\) | \(0{,}1666\ldots\) | \(\dfrac{16{,}66\ldots}{100}\) | \(16{,}66\ldots\,\%\) |
 | \(\dfrac{1}{8}\) | \(0{,}125\) | \(\dfrac{12{,}5}{100}\) | \(12{,}5\,\%\) |
 | \(\dfrac{1}{10}\) | \(0{,}1\) | \(\dfrac{10}{100}\) | \(10\,\%\) |
 | \(\dfrac{2}{3}\) | \(0{,}666\ldots\) | \(\dfrac{66{,}66\ldots}{100}\) | \(66{,}66\ldots\,\%\) |
 | \(\dfrac{3}{4}\) | \(0{,}75\) | \(\dfrac{75}{100}\) | \(75\,\%\) |
