1 – Généralités
Nous allons ici introduire de nouveaux nombres : les nombres négatifs.
Ces nombres sont historiquement apparus pour représenter les dettes.
On les rencontre aujourd'hui dans différents domaines de la vie quotidienne : température négative, niveaux dans un sous-sol, découvert sur un compte bancaire, dates avant J-C, etc.
Ces nombres sont historiquement apparus pour représenter les dettes.
On les rencontre aujourd'hui dans différents domaines de la vie quotidienne : température négative, niveaux dans un sous-sol, découvert sur un compte bancaire, dates avant J-C, etc.
Exemple 1 :
● Le calcul \(1 - 2\) n'a pas de résultat dans les nombres positifs : Il a pour résultat \(1 - 2 = -1\).● Dans un parking souterrain on peut garer sa voiture au niveau \(-2\).
● La température la plus froide enregistrée sur la planète est de \(-89{,}2°C\).
● Le solde d'un compte bancaire indique \(-150{,}98€\). Cela signifie que le titulaire du compte a une dette de \(150{,}98€\) envers sa banque. On dit qu'il est à découvert.
● Une altitude de \(-56\) m signifie une profondeur de \(56\) m sous le niveau de la mer.
● L'écriture a été inventée en \(-3500\) : c'est-à-dire \(3500\) ans avant J-C.
Définition 1 :
● Un nombre positif est un nombre qui est supérieur ou égal à \(0\). Il s'écrit avec le signe « \(+\) ».
● Un nombre négatif est un nombre qui est inférieur ou égal à \(0\). Il s'écrit avec le signe « \(-\) ».
● Un nombre relatif est un nombre qui peut être positif ou négatif.
● Un nombre positif est un nombre qui est supérieur ou égal à \(0\). Il s'écrit avec le signe « \(+\) ».
● Un nombre négatif est un nombre qui est inférieur ou égal à \(0\). Il s'écrit avec le signe « \(-\) ».
● Un nombre relatif est un nombre qui peut être positif ou négatif.
Remarques :
● \(0\) est donc le seul nombre qui est à la fois positif et négatif. On dit qu'il est nul.
● « inférieur à » s'écrit avec le symbole « \(<\) » et « supérieur à » avec le symbole « \(>\) ».
● Un nombre positif peut s'écrire sans son signe.
● \(0\) est donc le seul nombre qui est à la fois positif et négatif. On dit qu'il est nul.
● « inférieur à » s'écrit avec le symbole « \(<\) » et « supérieur à » avec le symbole « \(>\) ».
● Un nombre positif peut s'écrire sans son signe.
Exemple 2 :
Classer les nombres suivants : \(3 \; ; -2{,}1 \; ; 0 \; ; +4\)\(\dfrac{5}{2} \; ; -\dfrac{9}{4} \; ; +0{,}4 \; ; -0{,}008\)
Nombres positifs : \(3 \; ; 0 \; ; +4 \; ; \dfrac{5}{2} \; ; +0{,}4\).
Nombres négatifs : \(-2{,}1 \; ; 0 \; ; -\dfrac{9}{4} \; ; -0{,}008\).
Exemple 3 : Compléter avec les symboles \(<\), \(>\) ou \(=\).
a. \(3 > 0\) b. \(-2{,}1 < 0\) c. \(0 = 0\)d. \(+0{,}4 > 0\) e. \(-0{,}008 < 0\)
2 – Repérage sur un axe gradué
Définition 2 :
Un axe gradué est une droite sur laquelle on fixe :
● Une origine : Un point \(O\) qui correspond au nombre \(0\).
● Une unité : Un point \(I\) qui correspond au nombre \(1\).
Un axe gradué est une droite sur laquelle on fixe :
● Une origine : Un point \(O\) qui correspond au nombre \(0\).
● Une unité : Un point \(I\) qui correspond au nombre \(1\).
Remarques :
● Un axe gradué est orienté. Le sens de parcours de l'axe est alors indiqué par une flèche : généralement, de gauche à droite sur un axe horizontal et de bas en haut sur un axe vertical.
● La longueur unité \(OI\) est généralement une longueur facile à reporter : \(1\) carreau ou \(1\) cm.
● Chaque graduation correspond à un nombre entier relatif.
● Les nombres négatifs sont situés avant \(0\) et les nombres positifs sont situés après \(0\).
● Un axe gradué est orienté. Le sens de parcours de l'axe est alors indiqué par une flèche : généralement, de gauche à droite sur un axe horizontal et de bas en haut sur un axe vertical.
● La longueur unité \(OI\) est généralement une longueur facile à reporter : \(1\) carreau ou \(1\) cm.
● Chaque graduation correspond à un nombre entier relatif.
● Les nombres négatifs sont situés avant \(0\) et les nombres positifs sont situés après \(0\).
Propriété 1 :
Chaque point \(M\) de la droite correspond à un unique nombre relatif,
appelé abscisse du point \(M\) et noté \(x_M\).
Chaque point \(M\) de la droite correspond à un unique nombre relatif,
appelé abscisse du point \(M\) et noté \(x_M\).
Exemple 4 : On considère l'axe gradué ci-dessous.
\(x_O = 0 \; ; x_I = 1 \; ; x_A = 3\)
\(x_B = -2 \; ; x_C = 4{,}5 \; ; x_D = -5{,}4\)
2. Placer les points \(E ; F ; G ; H ; J ; K\) d'abscisses :
\(x_E = 2 \; ; x_F = -3 \; ; x_G = -4{,}5\)
\(x_H = 2{,}7 \; ; x_J = 0{,}3 \; ; x_K = 1{,}2\).
Définition 3 :
La distance à zéro d'un nombre relatif d'abscisse \(x_M\) est la longueur \(OM\).
La distance à zéro d'un nombre relatif d'abscisse \(x_M\) est la longueur \(OM\).
Remarque : La distance à zéro d'un nombre relatif correspond à sa valeur sans son signe.
Exemple 5 :
La distance à \(0\) du nombre \(2{,}7\) (\(H\)) est \(2{,}7\). Celle du nombre \(-3\) (\(F\)) est \(3\).Le nombre qui a la plus grande distance à zéro est \(-5{,}4\) (\(D\)) et la plus petite est \(0{,}3\) (\(J\)).
Définition 4 :
Deux nombres relatifs sont dits opposés s'ils ont la même distance à zéro mais un signe contraire.
Deux nombres relatifs sont dits opposés s'ils ont la même distance à zéro mais un signe contraire.
Exemple 6 :
Les nombres \(3\) (\(A\)) et \(-3\) (\(F\)) ainsi que \(4{,}5\) (\(C\)) et \(-4{,}5\) (\(G\)) sont opposés.
3 – Repérage dans le plan
Le plan désigne un espace à \(2\) dimensions (\(2D\)). Pour se repérer dans le plan, on doit donc utiliser deux axes gradués : on parle alors de « repère cartésien ».
Définition 5 :
Un repère orthogonal du plan est constitué de deux axes gradués, perpendiculaires et de même origine \(O\) :
● L'axe horizontal \((OI)\) est appelé l'axe des abscisses et noté \((Ox)\).
● L'axe vertical \((OJ)\) est appelé l'axe des ordonnées et noté \((Oy)\).
Un repère orthogonal du plan est constitué de deux axes gradués, perpendiculaires et de même origine \(O\) :
● L'axe horizontal \((OI)\) est appelé l'axe des abscisses et noté \((Ox)\).
● L'axe vertical \((OJ)\) est appelé l'axe des ordonnées et noté \((Oy)\).
Remarque : Si les 2 axes ont la même unité \((OI = OJ)\), on dit que le repère est orthonormé.
Les deux axes d'un repère
Repère orthogonal
Repère orthonormé
Définition 6 :
Les coordonnées d'un point sont un couple de nombres relatifs qui permettent de repérer ce point dans un repère orthogonal du plan.
Les coordonnées d'un point sont un couple de nombres relatifs qui permettent de repérer ce point dans un repère orthogonal du plan.
Remarque : Dans le plan, pour repérer un point \(M\), on doit utiliser deux nombres relatifs :
● Le premier s'appelle l'abscisse du point \(M\) et se note \(x_M\). Il se lit sur l'axe horizontal.
● Le deuxième s'appelle l'ordonnée du point \(M\) et se note \(y_M\). Il se lit sur l'axe vertical.
● Le point est alors noté de la façon suivante : \(M(x_M \, ; y_M)\).
● Le premier s'appelle l'abscisse du point \(M\) et se note \(x_M\). Il se lit sur l'axe horizontal.
● Le deuxième s'appelle l'ordonnée du point \(M\) et se note \(y_M\). Il se lit sur l'axe vertical.
● Le point est alors noté de la façon suivante : \(M(x_M \, ; y_M)\).
Exemple 7 : On considère le repère orthonormé suivant :
● L'abscisse du point \(A\) est : \(x_A = 3{,}5\)
L'ordonnée du point \(A\) est : \(y_A = 2\)
Les coordonnées du point \(A\) sont : \((3{,}5 \, ; 2)\)
● Lire les coordonnées des points \(B\), \(C\) et \(D\) :
\(B(-2 \, ; 1{,}5)\) ; \(C(-2{,}5 \, ; -2)\) ; \(D(3 \, ; -2{,}5)\)
● Placer les points suivants dans le repère :
\(E(2 \, ; -1)\) ; \(F(-3 \, ; 0)\) ; \(G(0 \, ; -1{,}5)\)
L'ordonnée du point \(A\) est : \(y_A = 2\)
Les coordonnées du point \(A\) sont : \((3{,}5 \, ; 2)\)
● Lire les coordonnées des points \(B\), \(C\) et \(D\) :
\(B(-2 \, ; 1{,}5)\) ; \(C(-2{,}5 \, ; -2)\) ; \(D(3 \, ; -2{,}5)\)
● Placer les points suivants dans le repère :
\(E(2 \, ; -1)\) ; \(F(-3 \, ; 0)\) ; \(G(0 \, ; -1{,}5)\)
Remarque : Dans un repère orthogonal, l'origine du repère a pour coordonnées \(O(0 \, ; 0)\).
4 – Comparaison
Propriété 2 : Pour comparer deux nombres relatifs on utilise les règles suivantes :
● Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
● Deux nombres positifs sont rangés dans l'ordre de leur distance à zéro.
● Deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leur distance à zéro.
● Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
● Deux nombres positifs sont rangés dans l'ordre de leur distance à zéro.
● Deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leur distance à zéro.
Remarques :
● Dans les nombres positifs, plus le nombre est loin de « \(0\) » plus le nombre est grand.
● Dans les nombres négatifs, plus le nombre est loin de « \(0\) » plus le nombre est petit.
● Dans les nombres positifs, plus le nombre est loin de « \(0\) » plus le nombre est grand.
● Dans les nombres négatifs, plus le nombre est loin de « \(0\) » plus le nombre est petit.
Exemple 8 : Compléter avec les symboles \(<\), \(>\).
a. \(1 < 5\) b. \(3 > -2\)c. \(-5 < -3\) d. \(-5 > -6\)
e. \(-2{,}5 < 2{,}8\) f. \(1{,}2 > -1{,}5\)
g. \(2{,}8 > 1{,}2\) h. \(-2{,}5 < -1{,}5\)
