1 – Addition
Propriété 1 :
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et on additionne leurs distances à \(0\).
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et on additionne leurs distances à \(0\).
Exemple 1 : Calculer les additions suivantes de nombres relatifs.
\[A = (+5) + (+3)\]
\[A = +(5 + 3)\]
\[A = +8\]
\[B = (-9) + (-6)\]
\[B = -(9 + 6)\]
\[B = -15\]
\[C = (+4) + (+8)\]
\[C = +(8 + 4)\]
\[C = +12\]
\[D = (-5) + (-25)\]
\[D = -(25 + 5)\]
\[D = -30\]
Propriété 2 :
Pour additionner deux nombres relatifs de signe différent, on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur et on soustrait leurs distances à zéro.
Pour additionner deux nombres relatifs de signe différent, on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur et on soustrait leurs distances à zéro.
Exemple 2 : Calculer les additions suivantes de nombres relatifs.
\[E = (+13) + (-10)\]
\[E = +(13 - 10)\]
\[E = +3\]
\[F = (-5) + (+9)\]
\[F = +(9 - 5)\]
\[F = +4\]
\[G = (-14) + (+8)\]
\[G = -(14 - 8)\]
\[G = -6\]
\[H = (+5) + (-15)\]
\[H = -(15 - 5)\]
\[H = -10\]
Propriété 3 :
La somme de deux nombres opposés est égale à \(0\).
La somme de deux nombres opposés est égale à \(0\).
Exemple 3 :
On a par exemple \((+9) + (-9) = 0\) ou \((-1) + (+1) = 0\).
2 – Soustraction
Propriété 4 :
Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.
Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.
Exemple 4 : Calculer les soustractions suivantes de nombres relatifs.
\[I = (+36) - (-8)\]
\[I = (+36) + (+8)\]
\[I = +44\]
\[J = (-24) - (+12)\]
\[J = (-24) + (-12)\]
\[J = -36\]
Remarque : Sur une droite graduée, la distance entre deux points est donnée par la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite abscisse. On obtient toujours un résultat positif.
Exemple 5 :
● \(GH = (+4) - (-7) = (+4) + (+7)\)\(= +(4 + 7) = +11\) car \((+4) > (-7)\).
● \(PH = (-7) - (-10) = (-7) + (+10)\)
\(= +(10 - 7) = +3\) car \((-10) < (-7)\).
3 – Somme algébrique
Une somme algébrique est une suite d'opérations avec les nombres relatifs qui ne comporte que des additions et des soustractions.
Propriété 5 :
Pour calculer une somme algébrique, on peut utiliser la méthode suivante :
● Étape 1 : On transforme les soustractions en additions.
● Étape 2 : On regroupe d'un côté les termes positifs et de l'autre les termes négatifs.
Pour calculer une somme algébrique, on peut utiliser la méthode suivante :
● Étape 1 : On transforme les soustractions en additions.
● Étape 2 : On regroupe d'un côté les termes positifs et de l'autre les termes négatifs.
Remarque : Pour simplifier les calculs, on peut également choisir de regrouper entre eux les termes opposés ou les termes dont le résultat est facile à calculer.
Exemple 6 : Calculer les sommes algébriques suivantes :
\[K = (-3) + (-7) - (-4) + (+5) - (+1)\]
\[K = (-3) + (-7) + (+4) + (+5) + (-1)\]
\[K = (+4) + (+5) + (-1) + (-3) + (-7)\]
\[K = (+9) + (-11)\]
\[K = -2\]
\[L = (+15) - (-108) + (-15) - (+8) + (-1)\]
\[L = (+15) + (+108) + (-15) + (-8) + (-1)\]
\[L = (+15) + (-15) + (+108) + (-8) + (-1)\]
\[L = (+100) + (-1)\]
\[L = +99\]
On peut supprimer les parenthèses qui entourent un nombre relatif afin d'alléger l'écriture des calculs et pour ne pas les confondre avec celles qui rendent un calcul prioritaire.
Propriété 6 :
On peut enlever les parenthèses en respectant les règles suivantes :
● Deux signes identiques sont remplacés par un « \(+\) ».
● Deux signes différents sont remplacés par un « \(-\) ».
On peut enlever les parenthèses en respectant les règles suivantes :
● Deux signes identiques sont remplacés par un « \(+\) ».
● Deux signes différents sont remplacés par un « \(-\) ».
Remarques :
● On peut également supprimer les parenthèses qui se trouvent au début d'un calcul.
● Un nombre positif peut être écrit sans son signe.
● Lorsque l'on regroupe les termes, chaque nombre relatif doit être déplacé avec son signe.
● On peut également supprimer les parenthèses qui se trouvent au début d'un calcul.
● Un nombre positif peut être écrit sans son signe.
● Lorsque l'on regroupe les termes, chaque nombre relatif doit être déplacé avec son signe.
Exemple 7 : Calculer les sommes algébriques suivantes :
\[M = (-2) + (-5) - (-6) + (+25)\]
\[M = -2 - 5 + 6 + 25\]
\[M = -7 + 31\]
\[M = 24\]
\[N = (+15) + (-8) - (-7) - (+10)\]
\[N = 15 - 8 + 7 - 10\]
\[N = 15 + 7 - 8 - 10\]
\[N = 22 - 18 = 4\]
