1 – Expression littérale
Définition 1 :
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Exemple 1 : Voici quelques exemples d'expressions littérales.
● \(A = 2 \times x + 1\) où \(x\) désigne un nombre.● \(B = 2 \times 3 \times (n + 1)\) où \(n\) désigne un nombre entier.
● \(C = x \times y \times (z + 1) - 1 \times z\) où \(x\), \(y\) et \(z\) désignent des nombres.
● Le périmètre d'un carré est donné par \(P_{\text{carré}} = 4 \times c\) où \(c\) désigne le côté d'un carré.
● Le périmètre d'un rectangle est donné par \(P_{\text{rectangle}} = 2 \times L + 2 \times l\) où \(L\) et \(l\) désignent la longueur et la largeur du rectangle.
2 – Simplifier une expression
Propriété 1 :
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale on peut supprimer le symbole « \(\times\) » avant une lettre ou une parenthèse (mais pas entre deux nombres).
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale on peut supprimer le symbole « \(\times\) » avant une lettre ou une parenthèse (mais pas entre deux nombres).
Remarque : On peut également simplifier les produits \(1 \times x = x\) et \(0 \times x = 0\).
Exemple 2 : Simplifier les expressions littérales de l'exemple 1 :
● \(A = 2 \times x + 1 = 2x + 1\)● \(B = 2 \times 3 \times (n + 1) = 6 \times (n + 1) = 6(n + 1)\)
● \(C = x \times y \times (z + 1) - 1 \times z = xy(z + 1) - z\)
● \(P_{\text{carré}} = 4 \times c = 4c\)
● \(P_{\text{rectangle}} = 2 \times L + 2 \times l = 2L + 2l\)
Propriété 2 :
Si \(x\) désigne un nombre, on a les égalités suivantes :
● \(x^{2} = x \times x\) ● \(x^{3} = x \times x \times x\)
Si \(x\) désigne un nombre, on a les égalités suivantes :
● \(x^{2} = x \times x\) ● \(x^{3} = x \times x \times x\)
Exemple 3 :
● L'aire d'un carré de côté \(c\) est donnée par \(\text{Aire} = c \times c = c^2\).● Le volume d'un cube d'arête \(a\) est donné par \(\text{Volume} = a \times a \times a = a^{3}\).
3 – Évaluer une expression
Propriété 3 :
Pour évaluer une expression littérale, on remplace chacune des lettres de l'expression par les valeurs données.
Pour évaluer une expression littérale, on remplace chacune des lettres de l'expression par les valeurs données.
Remarques :
● Si une même lettre apparaît plusieurs fois dans l'expression elle désigne le même nombre. Chaque occurrence de cette lettre sera alors remplacée par la même valeur.
● Pour évaluer une expression littérale simplifiée, il faut d'abord faire réapparaître les multiplications qui ont été supprimées pour pouvoir réaliser les calculs.
● Si une même lettre apparaît plusieurs fois dans l'expression elle désigne le même nombre. Chaque occurrence de cette lettre sera alors remplacée par la même valeur.
● Pour évaluer une expression littérale simplifiée, il faut d'abord faire réapparaître les multiplications qui ont été supprimées pour pouvoir réaliser les calculs.
Exemple 4 : Évaluer les expressions littérales pour les valeurs données.
● \(A = 2x + 1\) :Pour \(x = 2\) : \(A = 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5\).
Pour \(x = 0{,}5\) : \(A = 2 \times 0{,}5 + 1 = 1 + 1 = 2\).
● Quelle est l'aire d'un carré de côté \(c = 3\) cm ?
\(\text{Aire} = c^{2} = c \times c = 3 \times 3 = 9\). L'aire du carré est donc de \(9\) cm².
● Quel est le périmètre d'un rectangle de longueur \(L = 5\) cm et de largeur \(l = 2\) cm ?
\(P = 2L + 2l = 2 \times L + 2 \times l\)
\(= 2 \times 5 + 2 \times 2 = 14\).
Le périmètre du rectangle est donc de \(14\) cm.
4 – Tester une égalité
Définition 2 :
Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le symbole égal : « \(=\) ». Elle peut être soit vraie soit fausse.
Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le symbole égal : « \(=\) ». Elle peut être soit vraie soit fausse.
Exemple 5 :
« \(1 = 1\) » est une égalité vraie alors que « \(1 = 2\) » est une égalité fausse.
Propriété 4 :
Pour tester une égalité entre deux expressions littérales :
● On évalue chaque membre de l'égalité avec la ou les valeurs données.
● Si on trouve le même résultat, l'égalité est vraie. Sinon, l'égalité est fausse.
Pour tester une égalité entre deux expressions littérales :
● On évalue chaque membre de l'égalité avec la ou les valeurs données.
● Si on trouve le même résultat, l'égalité est vraie. Sinon, l'égalité est fausse.
Exemple 6 : Tester l'égalité \(8y - 9 = y + 19\) pour les valeurs suivantes :
● \(y = 7\) :
\(8y - 9 = 8 \times 7 - 9 = 56 - 9 = 47\)
\(y + 19 = 7 + 19 = 26\)
L'égalité n'est pas vraie pour \(y = 7\).
\(8y - 9 = 8 \times 7 - 9 = 56 - 9 = 47\)
\(y + 19 = 7 + 19 = 26\)
L'égalité n'est pas vraie pour \(y = 7\).
● \(y = 4\) :
\(8y - 9 = 8 \times 4 - 9 = 32 - 9 = 23\)
\(y + 19 = 4 + 19 = 23\)
L'égalité est vraie pour \(y = 4\).
\(8y - 9 = 8 \times 4 - 9 = 32 - 9 = 23\)
\(y + 19 = 4 + 19 = 23\)
L'égalité est vraie pour \(y = 4\).
