1 – La racine carrée
Rappel : Le carré d'un nombre \(x\) est \(x^2 = x \times x\).
Définition 1 : La racine carrée d'un nombre positif \(a\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a\). On la note \(\sqrt{a}\).
\[\text{Si } x \geq 0, \quad x^2 = a \iff x = \sqrt{a}\]
La racine carrée est l'opération inverse du carré (dans les nombres positifs).
Exemple 1 :
Tableau des carrés parfaits :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) | \(11\) | \(12\) |
| \(x^2\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) | \(49\) | \(64\) | \(81\) | \(100\) | \(121\) | \(144\) |
Remarque : La plupart des racines carrées sont des nombres irrationnels (ils ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction). On utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée.
Exemple 2 :
\[\sqrt{2} \approx 1{,}41\]
\[\sqrt{3} \approx 1{,}73\]
\[\sqrt{5} \approx 2{,}24\]
\[\sqrt{10} \approx 3{,}16\]
Remarque : La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.
2 – Théorème de Pythagore 
Propriété 1 (Théorème de Pythagore) : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
\[BC^2 = AB^2 + AC^2\]
Exemple 3 :
On peut vérifier cette propriété sur un triangle rectangle quelconque en mesurant les trois côtés et en vérifiant l'égalité.
Remarque : Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle, lorsque l'on connaît les deux autres longueurs.
Exemple 4 :
Le triangle EFG est rectangle en F. On donne \(EF = 4{,}5\) cm et \(FG = 3{,}8\) cm. Calculer EG.
D'après le théorème de Pythagore : \[EG^2 = EF^2 + FG^2\] \[EG^2 = 4{,}5^2 + 3{,}8^2\] \[EG^2 = 20{,}25 + 14{,}44\] \[EG^2 = 34{,}69\] \[EG = \sqrt{34{,}69} \approx 5{,}9 \text{ cm}\]
Exemple 5 :
Le triangle DYF est rectangle en Y. On donne \(DY = 5{,}2\) cm et \(DF = 8{,}4\) cm. Calculer YF.
D'après le théorème de Pythagore : \[DF^2 = DY^2 + YF^2\] On cherche YF, donc : \[YF^2 = DF^2 - DY^2\] \[YF^2 = 8{,}4^2 - 5{,}2^2\] \[YF^2 = 70{,}56 - 27{,}04\] \[YF^2 = 43{,}52\] \[YF = \sqrt{43{,}52} \approx 6{,}6 \text{ cm}\]
3 – Contraposée du théorème
Propriété 2 (Contraposée du théorème de Pythagore) : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.
Remarque : La contraposée est l'implication « inverse et niée » du théorème. Si l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, alors le triangle ne peut pas être rectangle.
Exemple 6 :
Le triangle ABC a pour dimensions : \(AB = 7\), \(AC = 9\) et \(BC = 11\).
Le plus grand côté est BC. \[BC^2 = 11^2 = 121\] \[AB^2 + AC^2 = 7^2 + 9^2 = 49 + 81 = 130\] Or \(130 \neq 121\), donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.
4 – Réciproque du théorème
Propriété 3 (Réciproque du théorème de Pythagore) : Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle (et l'angle droit est opposé au plus grand côté).
Remarque : Pour utiliser la réciproque, on calcule séparément le carré du plus grand côté d'une part, et la somme des carrés des deux autres côtés d'autre part, puis on compare.
Exemple 7 :
Le triangle ABC a pour dimensions : \(AB = 3{,}6\), \(BC = 4{,}8\) et \(AC = 6\).
Le plus grand côté est AC. \[AC^2 = 6^2 = 36\] \[AB^2 + BC^2 = 3{,}6^2 + 4{,}8^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = 36\] On constate que \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
5 – Triplets pythagoriciens
Définition 2 : Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers positifs \((a \,; b \,; c)\) tels que :
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Exemple 8 :
- \((3 \,; 4 \,; 5)\) : \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) → oui, c'est un triplet pythagoricien.
- \((6 \,; 8 \,; 10)\) : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) → oui, c'est un triplet pythagoricien.
- \((8 \,; 15 \,; 17)\) : \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) → oui, c'est un triplet pythagoricien.
- \((6 \,; 7 \,; 9)\) : \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 \neq 81 = 9^2\) → non, ce n'est pas un triplet pythagoricien.
Exemple 9 :
Parmi les triangles suivants, déterminer mentalement lesquels sont rectangles.
- a) Côtés 3, 4 et 5 : \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) → rectangle.
- b) Côtés 3, 3 et 3 : \(3^2 + 3^2 = 18 \neq 9 = 3^2\) → pas rectangle.
- c) Côtés 5, 12 et 13 : \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) → rectangle.
- d) Côtés 3, 4 et 6 : \(3^2 + 4^2 = 25 \neq 36 = 6^2\) → pas rectangle.
- e) Côtés 4, 5 et 6 : \(4^2 + 5^2 = 41 \neq 36 = 6^2\) → pas rectangle.
