1 – Triangles égaux
Définition 1 : Deux triangles sont égaux s'ils sont superposables.
Remarques :
- Deux triangles égaux ont les mêmes côtés et les mêmes angles.
- Les côtés et les angles qui se correspondent sont appelés homologues.
Propriété 1 : Deux triangles sont égaux dans les cas suivants :
- (CCC) : Ils ont leurs trois côtés de même longueur.
- (CAC) : Ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.
- (ACA) : Ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure.
Exemple 1 :
Cas 1 (CCC) : Les trois côtés sont égaux deux à deux.
Cas 2 (CAC) : Un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.
Cas 3 (ACA) : Un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure.
2 – Triangles semblables
Définition 2 : Deux triangles sont semblables si l'on peut rendre l'un égal à l'autre par un agrandissement ou une réduction.
Remarque : Deux triangles égaux sont toujours semblables, mais la réciproque est fausse : deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.
Propriété 2 : Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs côtés sont proportionnels.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité \(k\) entre les côtés est appelé rapport d'agrandissement-réduction :
- Si \(k > 1\), il s'agit d'un agrandissement.
- Si \(k < 1\), il s'agit d'une réduction.
- Si \(k = 1\), les triangles sont égaux.
Exemple 2 :
On calcule les rapports des côtés homologues :
| Triangle ABC | 3,45 | 5,20 | 5,90 |
| Triangle DEF | 4,14 | 6,24 | 7,08 |
| Rapport | \(\dfrac{4{,}14}{3{,}45} = 1{,}2\) | \(\dfrac{6{,}24}{5{,}20} = 1{,}2\) | \(\dfrac{7{,}08}{5{,}90} = 1{,}2\) |
Les côtés sont proportionnels avec un coefficient \(k = 1{,}2\) : les triangles ABC et DEF sont semblables.
Propriété 3 : Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Rappel : La somme des angles d'un triangle est égale à \(180{^\circ}\). Il suffit donc de vérifier l'égalité de deux angles pour conclure.
Exemple 3 :
Dans le triangle ABC : \(\widehat{B} = 75{^\circ}\) et \(\widehat{C} = 50{^\circ}\).
Dans le triangle IJK : \(\widehat{J} = 75{^\circ}\) et \(\widehat{K} = 50{^\circ}\).
On a \(\widehat{B} = \widehat{J} = 75{^\circ}\) et \(\widehat{C} = \widehat{K} = 50{^\circ}\), donc \(\widehat{A} = \widehat{I} = 180{^\circ} - 75{^\circ} - 50{^\circ} = 55{^\circ}\).
Les triangles ABC et IJK sont semblables.
Dans le triangle IJK : \(\widehat{J} = 75{^\circ}\) et \(\widehat{K} = 50{^\circ}\).
On a \(\widehat{B} = \widehat{J} = 75{^\circ}\) et \(\widehat{C} = \widehat{K} = 50{^\circ}\), donc \(\widehat{A} = \widehat{I} = 180{^\circ} - 75{^\circ} - 50{^\circ} = 55{^\circ}\).
Les triangles ABC et IJK sont semblables.
3 – Théorème de Thalès
Propriété 3 (Théorème de Thalès) : Si M est un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC) tels que \((MN) \parallel (BC)\), alors :
\[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\]
Remarque : Les triangles AMN et ABC sont semblables, avec un coefficient \(k = \dfrac{AM}{AB}\).
Exemple 4 :
On a \(AB = 3\) cm, \(AN = 4\) cm, \(AM = 7\) cm, \(BC = 2{,}5\) cm et \((MN) \parallel (BC)\).
1) Les triangles AMN et ABC sont semblables, avec un coefficient :
\[k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}3\]
2) Calculer AC :
\[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7}{3} = \dfrac{4}{AC}\]
\[AC = \dfrac{4 \times 3}{7} = \dfrac{12}{7} \approx 1{,}7 \text{ cm}\] 3) Calculer MN : \[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7}{3} = \dfrac{MN}{2{,}5}\]
\[MN = \dfrac{7 \times 2{,}5}{3} = \dfrac{17{,}5}{3} \approx 5{,}8 \text{ cm}\]
\[AC = \dfrac{4 \times 3}{7} = \dfrac{12}{7} \approx 1{,}7 \text{ cm}\] 3) Calculer MN : \[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7}{3} = \dfrac{MN}{2{,}5}\]
\[MN = \dfrac{7 \times 2{,}5}{3} = \dfrac{17{,}5}{3} \approx 5{,}8 \text{ cm}\]
Exemple 5 :
On a \(TR = 11\), \(TS = 8\), \(TM = 15\) et \(TE = 10\).
Les droites (RS) et (ME) sont-elles parallèles ?
On calcule les rapports : \[\dfrac{TS}{TE} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8 \quad \text{et} \quad \dfrac{TR}{TM} = \dfrac{11}{15} \approx 0{,}73\] On a \(0{,}8 \neq 0{,}73\), donc les droites \((RS)\) et \((ME)\) ne sont pas parallèles.
Les droites (RS) et (ME) sont-elles parallèles ?
On calcule les rapports : \[\dfrac{TS}{TE} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8 \quad \text{et} \quad \dfrac{TR}{TM} = \dfrac{11}{15} \approx 0{,}73\] On a \(0{,}8 \neq 0{,}73\), donc les droites \((RS)\) et \((ME)\) ne sont pas parallèles.
4 – Réciproque du théorème de Thalès
Propriété 4 (Réciproque du théorème de Thalès) : Si M est un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC) tels que :
\[\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\]
alors \((MN) \parallel (BC)\).
Remarques :
- Si les rapports sont égaux, les triangles AMN et ABC sont semblables.
- On utilise la réciproque pour démontrer que deux droites sont parallèles.
Exemple 6 :
Dans le triangle RTU, S est un point de [RT] et V un point de [RU].
On a \(RS = 5\), \(ST = 2\), \(RV = 2{,}5\) et \(VU = 1\).
On calcule : \[RT = RS + ST = 5 + 2 = 7 \quad \text{et} \quad RU = RV + VU = 2{,}5 + 1 = 3{,}5\] \[\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{5}{7} \quad \text{et} \quad \dfrac{RV}{RU} = \dfrac{2{,}5}{3{,}5} = \dfrac{5}{7}\] Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((SV)\) et \((TU)\) sont parallèles.
On a \(RS = 5\), \(ST = 2\), \(RV = 2{,}5\) et \(VU = 1\).
On calcule : \[RT = RS + ST = 5 + 2 = 7 \quad \text{et} \quad RU = RV + VU = 2{,}5 + 1 = 3{,}5\] \[\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{5}{7} \quad \text{et} \quad \dfrac{RV}{RU} = \dfrac{2{,}5}{3{,}5} = \dfrac{5}{7}\] Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((SV)\) et \((TU)\) sont parallèles.
Propriété 5 (Droite des milieux) : Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors :
- \((IJ) \parallel (BC)\)
- \(IJ = \dfrac{BC}{2}\)
Remarque : C'est une conséquence de la réciproque du théorème de Thalès :
\[\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{1}{2}\]
donc \((IJ) \parallel (BC)\) et \(IJ = \dfrac{BC}{2}\).
Exemple 7 :
Tracer un triangle ABC. Placer I milieu de [AB] et J milieu de [AC]. Tracer la droite (IJ).
Vérifier que \((IJ) \parallel (BC)\) et que \(IJ = \dfrac{BC}{2}\).
Vérifier que \((IJ) \parallel (BC)\) et que \(IJ = \dfrac{BC}{2}\).
