1 – Addition & Soustraction
Propriété 1 : Pour additionner deux nombres relatifs :
- Si les nombres ont le même signe, on garde le signe commun et on additionne leurs valeurs.
- Si les nombres ont un signe différent, on prend le signe du nombre qui a la plus grande valeur et on soustrait leurs valeurs.
Exemple 1 :
\[\text{A} = (+3)+(+5) = +(5+3) = +8\]
\[\text{B} = (-6)+(-9) = -(6+9) = -15\]
\[\text{C} = (-4)+(+8) = +(8-4) = +4\]
\[\text{D} = (+5)+(-25) = -(25-5) = -20\]
Propriété 2 : Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.
Exemple 2 :
\[\text{E} = (+36)-(-8) = (+36)+(+8) = +44\]
\[\text{F} = (-24)-(+12) = (-24)+(-12) = -36\]
Propriété 3 : Dans une suite de calculs ne comportant que des additions et des soustractions, on peut enlever les parenthèses :
- Deux signes identiques donnent un « \(+\) ».
- Deux signes différents donnent un « \(-\) ».
Exemple 3 :
\[\text{G} = (-2)+(-5)-(-6)+(+25)\]
\[\text{G} = -2-5+6+25 = -7+31 = +24\]
\[\text{H} = (+15)+(-8)-(-7)-(+10)\]
\[\text{H} = 15-8+7-10 = 22-18 = 4\]
Remarques :
- Un nombre positif peut être écrit sans son signe.
- Pour calculer plus facilement, on peut regrouper les nombres de même signe.
2 – Multiplication & Division
Propriété 4 (Règle des signes) :
- Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif.
- Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signes contraires est négatif.
Exemple 4 :
\[\text{I} = (-3) \times 5 \quad \rightarrow \quad \text{négatif}\]
\[\text{J} = (-7) \times (-0{,}4) \quad \rightarrow \quad \text{positif}\]
\[\text{K} = 98 \div (-2) \quad \rightarrow \quad \text{négatif}\]
\[\text{L} = \dfrac{3}{5} \quad \rightarrow \quad \text{positif}\]
Remarque : Un produit est positif s'il contient un nombre pair de facteurs négatifs, et négatif s'il contient un nombre impair de facteurs négatifs.
Exemple 5 :
\[\text{M} = (-3) \times (-5) \times 15 \times (-9)\]
3 facteurs négatifs (impair) \(\rightarrow\) négatif\[\text{N} = \dfrac{(-5) \times (-7)}{(-8) \times (-9)}\] 4 facteurs négatifs (pair) \(\rightarrow\) positif
Propriété 5 : On détermine d'abord le signe du résultat, puis on multiplie (ou on divise) les valeurs.
Exemple 6 :
\[\text{P} = (-8) \times (-9) = +72\]
\[\text{Q} = 48 \div (-2) = -24\]
\[\text{R} = (-5) \times (-2) \times (-4) = -40\]
Remarque (Priorités opératoires) : Dans un calcul comportant plusieurs opérations, on effectue dans l'ordre :
- Les parenthèses.
- Les multiplications et les divisions.
- Les additions et les soustractions.
Exemple 7 :
\[\text{S} = -3 + (-2) \times (3-5) + 9 \div (-3)\]
\[\text{S} = -3 + (-2) \times (-2) + 9 \div (-3)\]
\[\text{S} = -3 + (+4) + (-3)\]
\[\text{S} = -3 + 4 - 3\]
\[\text{S} = -2\]
