1 – Généralités
Définition 1 : Une fraction est le quotient de deux nombres entiers. Elle s'écrit sous la forme \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\).
- \(a\) est le numérateur.
- \(b\) est le dénominateur.
Remarque : Une fraction peut s'écrire sous forme décimale exacte ou sous forme d'un nombre décimal illimité.
Exemple 1 :
\[\dfrac{3}{4} = 0{,}75\]
\[\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\]
Propriété 1 : On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k}\]
Remarque : Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple 2 :
\[\dfrac{15}{20} = \dfrac{15 \div 5}{20 \div 5} = \dfrac{3}{4}\]
\[\dfrac{48}{36} = \dfrac{48 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{4}{3}\]
\[\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}\]
Exemple 3 :
Écriture décimale :
\[\dfrac{7}{4} = \dfrac{175}{100} = 1{,}75\]
\[\dfrac{3}{8} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375\]
Propriété 2 : Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Remarque : Pour mettre deux fractions au même dénominateur, on utilise la Propriété 1.
Exemple 3 :
Comparer les fractions suivantes :
\[\dfrac{3}{4} \quad \text{et} \quad \dfrac{5}{8} \quad \longrightarrow \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8} \quad \text{donc} \quad \dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}\]
\[\dfrac{2}{3} \quad \text{et} \quad \dfrac{5}{7} \quad \longrightarrow \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{14}{21} \quad \text{et} \quad \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{21} \quad \text{donc} \quad \dfrac{2}{3} < \dfrac{5}{7}\]
\[\dfrac{7}{6} \quad \text{et} \quad \dfrac{9}{8} \quad \longrightarrow \quad \dfrac{7}{6} = \dfrac{28}{24} \quad \text{et} \quad \dfrac{9}{8} = \dfrac{27}{24} \quad \text{donc} \quad \dfrac{7}{6} > \dfrac{9}{8}\]
2 – Addition et Soustraction
Propriété 3 : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
\[\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b}\]
Remarque : Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, on les met d'abord au même dénominateur.
Exemple 4 :
\[\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{3+2}{7} = \dfrac{5}{7}\]
\[\dfrac{5}{4} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{15}{12} - \dfrac{8}{12} = \dfrac{7}{12}\]
\[\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5-1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\]
\[\dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{14}{20} + \dfrac{15}{20} = \dfrac{29}{20}\]
\[\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{13}{12}\]
\[\dfrac{11}{6} - \dfrac{7}{8} = \dfrac{44}{24} - \dfrac{21}{24} = \dfrac{23}{24}\]
3 – Multiplication
Propriété 4 : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
\[\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\]
Remarque : On peut simplifier avant de calculer pour obtenir des nombres plus petits.
Exemple 5 :
\[\dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 4} = \dfrac{15}{28}\]
\[\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{3} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 3} = \dfrac{14}{15}\]
\[\dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{8 \times 3}{9 \times 4} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\]
\[\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{5 \times 9}{6 \times 10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\]
Exemple 6 :
Pour un gâteau il faut \(\dfrac{3}{4}\) de litre de lait. Marie veut faire \(\dfrac{2}{3}\) du gâteau. Il lui faut donc :
\[\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\]
Il lui faut \(\dfrac{1}{2}\) litre de lait, soit \(0{,}5\) L.
4 – Inverse et division
Définition 2 : Deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit est égal à \(1\).
Exemple 7 :
L'inverse de \(5\) est \(\dfrac{1}{5}\).
L'inverse de \(\dfrac{1}{4}\) est \(4\).
L'inverse de \(\dfrac{3}{7}\) est \(\dfrac{7}{3}\).
L'inverse de \(-\dfrac{2}{9}\) est \(-\dfrac{9}{2}\).
Remarques :
- L'inverse de \(a\) est \(\dfrac{1}{a}\) (avec \(a \neq 0\)).
- L'inverse de \(\dfrac{a}{b}\) est \(\dfrac{b}{a}\) (avec \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\)).
- \(0\) n'a pas d'inverse.
Propriété 5 : Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
\[\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\]
Exemple 8 :
\[\dfrac{3}{5} \div \dfrac{7}{4} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{12}{35}\]
\[\dfrac{8}{3} \div 4 = \dfrac{8}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\]
Remarque : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}} = a \times \dfrac{c}{b} \qquad \text{et} \qquad \dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\]
Exemple 9 :
\[\dfrac{5}{\dfrac{3}{4}} = 5 \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{20}{3}\]
\[\dfrac{\dfrac{2}{7}}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{35}\]
\[\dfrac{\dfrac{3}{8}}{6} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{48} = \dfrac{1}{16}\]
\[\dfrac{7}{\dfrac{2}{9}} = 7 \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{63}{2}\]
5 – Chaîne de calculs
Dans un calcul avec des fractions, on respecte les priorités opératoires : les multiplications et divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.
Exemple 10 :
\[\text{A} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{3}\]
\[\text{A} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\]
\[\text{A} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}\]
\[\text{A} = \dfrac{19}{12}\]
\[\text{B} = \dfrac{7}{6} - \dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5}\]
\[\text{B} = \dfrac{7}{6} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4}\]
\[\text{B} = \dfrac{7}{6} - \dfrac{10}{12}\]
\[\text{B} = \dfrac{14}{12} - \dfrac{10}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\]
