1 – Construire un triangle
Définition 1 :
Un triangle est un polygone à \(3\) côtés et \(3\) sommets.
Un triangle est un polygone à \(3\) côtés et \(3\) sommets.
Remarque : Pour construire un triangle, il faut \(3\) données dont au moins la longueur d'un côté.
Exemple 1 : Construction avec 3 côtés.
On veut construire le triangle \(ABC\) avec \(AB = 5\) cm, \(AC = 4\) cm et \(BC = 3\) cm.Méthode : On trace un côté à la règle puis on utilise le compas pour reporter les deux autres longueurs.
Exemple 2 : Construction avec 2 côtés et 1 angle.
On veut construire le triangle \(DEF\) avec \(DE = 4{,}5\) cm, \(EF = 5\) cm et \(\widehat{DEF} = 45{^\circ}\).Méthode : On trace un côté à la règle puis on utilise le rapporteur pour tracer l'angle.
Exemple 3 : Construction avec 1 côté et 2 angles.
On veut construire le triangle \(GHI\) avec \(GH = 5\) cm, \(\widehat{IGH} = 65{^\circ}\) et \(\widehat{GHI} = 50{^\circ}\).
Remarque : Si on connaît uniquement les \(3\) angles d'un triangle (sans longueur de côté), il existe une infinité de triangles possibles (ils sont semblables mais de tailles différentes).
2 – Propriétés sur les triangles
a) Somme des angles
Propriété 1 :
La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à \(180{^\circ}\).
La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à \(180{^\circ}\).
Exemple 4 : Calculer l'angle manquant.
On sait que la somme des angles vaut \(180{^\circ}\) :
\[\hat{A} + 39{^\circ} + 23{^\circ} = 180{^\circ}\]
\[\hat{A} + 62{^\circ} = 180{^\circ}\]
\[\hat{A} = 180{^\circ} - 62{^\circ} = 118{^\circ}\]
b) Inégalité triangulaire
Propriété 2 :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Exemple 5 : Vérifier l'inégalité triangulaire.
On vérifie les trois inégalités :
● \(AC < AB + BC\) soit \(7 < 3{,}1 + 4{,}9 = 8\) ✓
● \(AB < AC + CB\) soit \(3{,}1 < 7 + 4{,}9 = 11{,}9\) ✓
● \(BC < BA + AC\) soit \(4{,}9 < 3{,}1 + 7 = 10{,}1\) ✓
● \(AC < AB + BC\) soit \(7 < 3{,}1 + 4{,}9 = 8\) ✓
● \(AB < AC + CB\) soit \(3{,}1 < 7 + 4{,}9 = 11{,}9\) ✓
● \(BC < BA + AC\) soit \(4{,}9 < 3{,}1 + 7 = 10{,}1\) ✓
Remarques :
● Si l'un des côtés est égal à la somme des deux autres, les trois points sont alignés (triangle « aplati »).
● Si l'un des côtés est supérieur à la somme des deux autres, le triangle n'est pas constructible.
● Si l'un des côtés est égal à la somme des deux autres, les trois points sont alignés (triangle « aplati »).
● Si l'un des côtés est supérieur à la somme des deux autres, le triangle n'est pas constructible.
c) Aire d'un triangle
Propriété 3 :
L'aire d'un triangle se calcule avec la formule : \[\text{Aire} = \dfrac{\text{Base} \times \text{hauteur}}{2}\]
L'aire d'un triangle se calcule avec la formule : \[\text{Aire} = \dfrac{\text{Base} \times \text{hauteur}}{2}\]
Exemple 6 : Calculer l'aire du triangle suivant.
\[\text{Aire} = \dfrac{\text{Base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{5 \times 2}{2} = 5 \text{ u.a.}\]
3 – Droites remarquables
a) Hauteurs
Définition 2 :
Une hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Une hauteur d'un triangle est la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Exemple 7 : Tracer la hauteur issue du sommet \(A\).
Méthode : On utilise l'équerre pour tracer la perpendiculaire au côté \([BC]\) passant par \(A\).
Remarque : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre (noté \(H\)).
b) Médiatrices
Définition 3 :
Une médiatrice d'un triangle est la droite qui coupe un côté perpendiculairement en son milieu.
Une médiatrice d'un triangle est la droite qui coupe un côté perpendiculairement en son milieu.
Exemple 8 : Tracer la médiatrice du côté \([BC]\).
Méthode : On utilise le compas pour tracer deux arcs de cercle de même rayon centrés en \(B\) et en \(C\).
Remarque : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle (noté \(O\)).
c) Médianes
Définition 4 :
Une médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé.
Une médiane d'un triangle est la droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé.
Exemple 9 : Les trois médianes du triangle.
Remarque : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité (noté \(G\)).
d) Bissectrices
Définition 5 :
Une bissectrice d'un triangle est la droite qui coupe un angle en deux angles égaux.
Une bissectrice d'un triangle est la droite qui coupe un angle en deux angles égaux.
Exemple 10 : Tracer la bissectrice de l'angle \(\hat{A}\).
Méthode : On utilise le compas pour tracer deux arcs de cercle de même rayon centrés sur les côtés de l'angle.
Remarque : Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle (noté \(I\)).
e) Droite d'Euler
Propriété 4 :
Dans un triangle, l'orthocentre \(H\), le centre de gravité \(G\) et le centre du cercle circonscrit \(O\) sont alignés.
Dans un triangle, l'orthocentre \(H\), le centre de gravité \(G\) et le centre du cercle circonscrit \(O\) sont alignés.
Vocabulaire : La droite passant par ces trois points est appelée la droite d'Euler.
Exemple 11 :
Le centre du cercle inscrit \(I\) n'est en général pas sur cette droite.
Remarque : Si le triangle est isocèle, la droite d'Euler passe aussi par le centre du cercle inscrit \(I\) car elle est confondue avec l'axe de symétrie du triangle.
