1 – Forme développée
Définition 1 : Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels tel que \(a \neq 0\). On appelle polynôme du second degré toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\).
Exemple 1 :
La fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) est un polynôme du second degré.
Ses coefficients sont \(a = 1\), \(b = -4\) et \(c = 2\).
Définition 2 : On appelle discriminant du polynôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) le nombre \(\Delta = b^2 - 4ac\).
Exemple 2 :
Le discriminant du polynôme \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) est :
\[\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4\]
2 – Forme canonique
Propriété 1 : Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme du second degré. Il existe deux nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\) tel que \(f\) puisse s'écrire sous la forme dite canonique \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\).
De plus, on a \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}\).
De plus, on a \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}\).
Démonstration :
Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme du second degré.• On factorise par \(a\) : \[f(x) = a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right)\] • \(x^2 + \dfrac{b}{a}x\) est le début d'une identité remarquable \(A^2 + 2AB + B^2\) que l'on va faire apparaître : \[\begin{aligned} f(x) &= a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right) \\[6pt] &= a\left(x^2 + 2\cdot\dfrac{b}{2a}x + \dfrac{c}{a}\right) \end{aligned}\] \[f(x) = a\left(\underbrace{x^2 + 2\cdot\dfrac{b}{2a}x + \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}_{A^2 + 2AB + B^2} - \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{c}{a}\right)\] • On utilise l'identité remarquable \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) avec \(A = x\) et \(B = \dfrac{b}{2a}\) : \[f(x) = a\left(\underbrace{\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2}_{(A+B)^2} - \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{c}{a}\right)\] • On fait apparaître \(\alpha\) et on développe \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\) : \[f(x) = a\left(\left(x - \underbrace{\dfrac{-b}{2a}}_{\alpha}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a}\right)\] • On met les deux fractions au même dénominateur et on fait apparaître \(\Delta\) : \[\begin{aligned} f(x) &= a\left((x - \alpha)^2 + \dfrac{-b^2}{4a^2} + \dfrac{4ac}{4a^2}\right) \\[6pt] &= a\left((x - \alpha)^2 + \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a^2}\right) \\[6pt] &= a\left((x - \alpha)^2 + \dfrac{-\Delta}{4a^2}\right) \end{aligned}\] • On développe le \(a\) puis on fait apparaître \(\beta\) : \[f(x) = a(x - \alpha)^2 + \underbrace{\dfrac{-\Delta}{4a}}_{\beta} = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \square\]
Exemple 3 :
Mettre sous la forme canonique le polynôme \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
On calcule \(\alpha = \dfrac{-(-4)}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2\).
On calcule \(\beta = f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\) ou bien \(\beta = -\dfrac{4}{4 \times 1} = -1\).
On obtient donc \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\).
3 – Forme factorisée
Propriété 2 : Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme du second degré.
• Si \(\Delta > 0\) alors \(f\) peut se factoriser sous la forme \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) avec : \[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\] • Si \(\Delta = 0\) alors \(f\) peut se factoriser sous la forme \(f(x) = a(x - x_0)^2\) avec : \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
• Si \(\Delta < 0\) alors il n'y a pas de factorisation possible.
• Si \(\Delta > 0\) alors \(f\) peut se factoriser sous la forme \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) avec : \[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\] • Si \(\Delta = 0\) alors \(f\) peut se factoriser sous la forme \(f(x) = a(x - x_0)^2\) avec : \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
• Si \(\Delta < 0\) alors il n'y a pas de factorisation possible.
Remarque : On dit que \(x_0\), \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines du polynôme. Ce sont les valeurs où la fonction s'annule.
Démonstration :
Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme du second degré.• On peut écrire sous forme canonique de \(f\) : \[f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}\] On factorise par \(a\) : \[f(x) = a\left(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)\] • 1er cas : \(\Delta > 0\). On peut prendre la racine de \(\Delta\).
On fait apparaître l'identité remarquable \(A^2 - B^2\) : \[\begin{aligned} f(x) &= a\left(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\sqrt{\Delta}^2}{4a^2}\right) \\[6pt] &= a\left(\underbrace{\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2}_{A^2 - B^2}\right) \end{aligned}\] On utilise l'identité remarquable \(A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)\) avec \(A = x + \dfrac{b}{2a}\) et \(B = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\) : \[f(x) = a\left(\underbrace{\left(x + \dfrac{b}{2a} + \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}_{A+B}\underbrace{\left(x + \dfrac{b}{2a} - \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}_{A-B}\right)\] On met sur le même dénominateur et on fait apparaître \(x_1\) et \(x_2\) : \[f(x) = a\left(\left(x + \dfrac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x + \dfrac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right)\] \[f(x) = a\left(\left(x - \underbrace{\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}_{x_1}\right)\left(x - \underbrace{\dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}_{x_2}\right)\right)\] \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\] • 2ème cas : \(\Delta = 0\). \(f\) s'écrit sous la forme : \[\begin{aligned} f(x) &= a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = a\left(x - \dfrac{-b}{2a}\right)^2 \\[6pt] &= a(x - x_0)^2 \end{aligned}\] • 3ème cas : \(\Delta < 0\). Supposons que \(f\) se factorise comme produit de facteur du premier degré.
Dans ce cas la fonction s'annulerait ce qui est impossible car comme \(\Delta < 0\) on a \(-\Delta > 0\) : \[f(x) = a\left(\underbrace{\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2}_{\geq\,0} + \underbrace{\dfrac{-\Delta}{4a^2}}_{>\,0}\right)\] \[f(x) = \underbrace{a}_{\neq\,0}\left(\underbrace{\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{-\Delta}{4a^2}}_{\neq\,0}\right) \quad \text{donc} \quad f(x) \neq 0 \qquad \square\]
Exemple 4 :
Factoriser si possible le polynôme \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
On a \(\Delta = 4 > 0\) donc \(f\) peut se factoriser sous la forme \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
On calcule \(x_1 = \dfrac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \times 1} = \dfrac{4 - 2}{2} = 1\). On calcule \(x_2 = \dfrac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \times 1} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3\).
On obtient donc \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\).
Application : On peut résoudre l'équation \(x^2 - 4x + 3 = 0\) en utilisant la règle du produit nul : \[\begin{aligned} x^2 - 4x + 3 = 0 &\iff (x - 1)(x - 3) = 0 \\ &\iff x - 1 = 0 \;\text{ou}\; x - 3 = 0 \\ &\iff x = 1 \;\text{ou}\; x = 3 \end{aligned}\] Les solutions de l'équation \(x^2 - 4x + 3 = 0\) sont \(1\) et \(3\).
