1 – Résolution de l'équation du second degré
Propriété 1 : On considère l'équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\).
• Si \(\Delta > 0\) alors l'équation possède deux solutions distinctes qui sont : \[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\] • Si \(\Delta = 0\) alors l'équation possède une solution unique qui est \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
• Si \(\Delta < 0\) alors l'équation ne possède aucune solution.
• Si \(\Delta > 0\) alors l'équation possède deux solutions distinctes qui sont : \[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\] • Si \(\Delta = 0\) alors l'équation possède une solution unique qui est \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
• Si \(\Delta < 0\) alors l'équation ne possède aucune solution.
Démonstration :
On considère l'équation \(ax^2 + bx + c = 0\). Soit \(f\) le polynôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\).• Si \(\Delta > 0\), la forme factorisée de \(f\), permet d'écrire l'équation sous forme d'un produit nul.
Comme \(a \neq 0\) on a : \[\begin{aligned} a(x - x_1)(x - x_2) = 0 &\iff x - x_1 = 0 \;\text{ou}\; x - x_2 = 0 \\ &\iff x = x_1 \;\text{ou}\; x = x_2 \end{aligned}\] L'équation admet donc deux solutions qui sont \(x_1\) et \(x_2\).
• Si \(\Delta = 0\), on utilise également la forme factorisée de \(f\) : \[a(x - x_0)^2 = 0 \iff x - x_0 = 0 \iff x = x_0\] L'équation admet donc une solution qui est \(x_0\).
• Si \(\Delta < 0\), alors on a vu que la factorisation était impossible car la fonction ne s'annule pas.
Le polynôme n'admet donc pas de racines et l'équation pas de solutions. \(\square\)
Exemple 1 :
Résoudre les équations suivantes :
1) \(x^2 - x - 1 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -1\) et \(c = -1\) \[\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5 > 0\] L'équation possède donc deux solutions : \[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1) - \sqrt{5}}{2 \times 1} \\[6pt] &= \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0{,}68 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} x_2 &= \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-1) + \sqrt{5}}{2 \times 1} \\[6pt] &= \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}68 \end{aligned}\] \[S = \left\{\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\;;\;\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right\}\] 2) \(2x^2 - 4x + 2 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -4\) et \(c = 2\) \[\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 16 - 16 = 0\] L'équation possède donc une seule solution : \[x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-(-4)}{2 \times 2} = \dfrac{4}{4} = 1\] \[S = \{1\}\] 3) \(-3x^2 + x - 2 = 0\)
\(a = -3\), \(b = 1\) et \(c = -2\) \[\Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 \times (-3) \times (-2) = 1 - 24 = -23 < 0\] L'équation ne possède donc pas de solution. \[S = \varnothing\]
2 – Relation entre racines et coefficients
Propriété 2 : Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme du second degré qui possède deux racines distinctes.
• La somme \(S\) de ces racines est égale à \(S = -\dfrac{b}{a}\).
• Le produit \(P\) de ces racines est égal à \(P = \dfrac{c}{a}\).
• La somme \(S\) de ces racines est égale à \(S = -\dfrac{b}{a}\).
• Le produit \(P\) de ces racines est égal à \(P = \dfrac{c}{a}\).
Démonstration :
Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme qui possède deux racines distinctes \(x_1\) et \(x_2\).• On utilise encore la forme factorisée \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) que nous allons développer : \[\begin{aligned} a(x - x_1)(x - x_2) &= a(x^2 - x_2 x - x_1 x + x_1 x_2) \\ &\quad \small\text{(on développe le double produit)} \\ &= a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) \\ &\quad \small\text{(on regroupe les termes en « } x \text{ »)} \\ &= ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1 x_2 \\ &\quad \small\text{(on développe le « } a \text{ »)} \end{aligned}\] • On identifie avec la forme développée : \[ax^2 \underbrace{- a(x_1 + x_2)}_{b}x + \underbrace{ax_1 x_2}_{c} = ax^2 + bx + c\] On obtient \(\begin{cases} -a(x_1 + x_2) = b \\ ax_1 x_2 = c \end{cases}\) c'est-à-dire \(\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[6pt] x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}\) d'où \(\begin{cases} S = -\dfrac{b}{a} \\[6pt] P = \dfrac{c}{a} \end{cases}\) \(\square\)
Exemple 2 :
On considère l'équation du second degré \(2x^2 - 12x + 10 = 0\).
1) Trouver une solution évidente.
\(1\) est une solution évidente : \(2 \times 1^2 - 12 \times 1 + 10 = 2 - 12 + 10 = 0\).
2) En utilisant la relation entre racines et coefficients trouver la deuxième solution.
\(1 \times x_2 = \dfrac{10}{2}\) d'où \(x_2 = 5\) ou bien \(1 + x_2 = -\dfrac{-12}{2} = 6\) d'où \(x_2 = 6 - 1 = 5\).
