1 – Représentation graphique
Propriété 1 : Soit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) un polynôme du second degré.
• La courbe représentative de \(f\) est une parabole.
• Si \(a > 0\) alors la parabole est orientée vers le haut et si \(a < 0\) alors elle est orientée vers le bas.
• Le sommet \(S\) de la parabole a pour coordonnée \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
• La parabole est symétrique par rapport à l'axe vertical \(x = \alpha\).
• La parabole coupe l'axe des ordonnées en \(c\).
• La parabole coupe l'axe des abscisses en se(s) racine(s) éventuelle(s).
• La courbe représentative de \(f\) est une parabole.
• Si \(a > 0\) alors la parabole est orientée vers le haut et si \(a < 0\) alors elle est orientée vers le bas.
• Le sommet \(S\) de la parabole a pour coordonnée \(S(\alpha\,;\,\beta)\).
• La parabole est symétrique par rapport à l'axe vertical \(x = \alpha\).
• La parabole coupe l'axe des ordonnées en \(c\).
• La parabole coupe l'axe des abscisses en se(s) racine(s) éventuelle(s).
Exemple 1 :
En utilisant les trois formes du polynôme du second degré \(f\), tracer dans un repère l'allure de sa courbe représentative en faisant apparaître tous les points importants.
Forme développée : \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
Forme canonique : \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\)
Forme factorisée : \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\)
2 – Sens de variation et extremums
Propriété 2 : Les variations du polynôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) sont données par les tableaux suivants :
• Si \(a > 0\) : \(f\) admet un minimum en \(\alpha\) qui vaut \(\beta\).
• Si \(a < 0\) : \(f\) admet un maximum en \(\alpha\) qui vaut \(\beta\).
• Si \(a > 0\) : \(f\) admet un minimum en \(\alpha\) qui vaut \(\beta\).
• Si \(a < 0\) : \(f\) admet un maximum en \(\alpha\) qui vaut \(\beta\).
Exemple 2 :
Réaliser le tableau de variations des polynômes suivants puis préciser leurs extremums.
• \(f(x) = 2x^2 + 8x - 2\)
\(a = 2 > 0\)
\(\alpha = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-8}{2 \times 2} = -2\)
\(\beta = f(-2) = 2 \times (-2)^2 + 8 \times (-2) - 2 = -10\)
• \(g(x) = -x^2 + 2x + 3\)
\(a = -1 < 0\)
\(\alpha = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-2}{2 \times (-1)} = 1\)
\(\beta = g(1) = -(1)^2 + 2 \times (1) + 3 = 4\)
3 – Signe
Propriété 3 : Le polynôme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est du signe de \(a\) sauf entre ses racines éventuelles.
Exemple 3 :
Réaliser le tableau de signe des polynômes suivants :
• \(f(x) = x^2 - 5x + 4\)
\(a = 1\) est « \(+\) ».
Deux racines : \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 4\).
\(a = 2\) est « \(+\) ».
Une racine : \(x_0 = 1\).
\(a = -3\) est « \(-\) ».
\(h\) n'admet pas de racines.
Exemple 4 :
Résoudre les inéquations suivantes :
• \(x^2 - 5x + 4 \leq 0\) : On regarde les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est « \(-\) » ou « \(0\) ». \(S = [1\;;\;4]\)
• \(2x^2 - 4x + 2 > 0\) : On regarde les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(g(x)\) est « \(+\) ». \(S = {]{-\infty}\;;\;1[} \cup {]1\;;\;{+\infty}[}\)
• \(-3x^2 + x - 2 \geq 0\) : On regarde les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(h(x)\) est « \(+\) » ou « \(0\) ». \(S = \varnothing\)
