1 – Définition
On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) ainsi que deux nombres \(a\) et \(b\) de \(I\).
Définition 1 : On appelle taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) le nombre
\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\]
Remarque : Soient \(A\) et \(B\) les points de la courbe de \(f\) d'abscisses respectives \(a\) et \(b\). Graphiquement, le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) correspond alors au coefficient directeur de la droite \((AB)\).
En effet, le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est égal à \(\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
En effet, le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est égal à \(\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\)
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction carré.1) Calculer le taux d'accroissement de la fonction \(f\) entre \(1\) et \(3\). \[\begin{aligned} \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} &= \dfrac{3^2 - 1^2}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} \\[6pt] &= \dfrac{8}{2} = 4 \end{aligned}\] 2) Déterminer graphiquement le taux d'accroissement de \(f\) entre \(-2\) et \(-1\).
On place les points \(A\) et \(B\) de la courbe d'abscisses respectives \(-2\) et \(-1\).
Il s'agit du coefficient directeur de la droite \((AB)\) : \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = -3\).
Exemple 2 :
La courbe \(f\) ci-dessous représente l'évolution de la population française entre \(1200\) et \(2000\).
a. Entre \(1400\) et \(1600\) : \[\dfrac{f(1600) - f(1400)}{1600 - 1400} = \dfrac{18\,000 - 20\,000}{200} = -10\] La population française a perdu en moyenne \(10\) milliers d'habitants par an entre \(1400\) et \(1600\).
b. Entre \(1850\) et \(1900\) : \[\dfrac{f(1900) - f(1850)}{1900 - 1850} = \dfrac{39\,000 - 36\,000}{50} = 60\] La population française a gagné en moyenne \(60\) milliers d'habitants par an entre \(1850\) et \(1900\).
c. Entre \(1950\) et \(2000\) : \[\dfrac{f(2000) - f(1950)}{2000 - 1950} = \dfrac{59\,000 - 42\,000}{50} = 340\] La population française a gagné en moyenne \(340\) milliers d'habitants par an entre \(1950\) et \(2000\).
2) Estimer graphiquement le taux d'accroissement de la population française entre \(1750\) et \(1850\).
On place les points \(A\) et \(B\) de la courbe d'abscisses respectives \(1750\) et \(1850\).
Le taux d'accroissement est égal au coefficient directeur de la droite \((AB)\) : \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{10\,000}{100} = 100\).
2 – Lien avec le sens de variation
Propriété 1 : On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) ainsi que deux nombres \(a\) et \(b\) de \(I\).
● Si \(f\) est croissante sur \(I\) alors le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est positif.
● Si \(f\) est décroissante sur \(I\) alors le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est négatif.
● Si \(f\) est croissante sur \(I\) alors le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est positif.
● Si \(f\) est décroissante sur \(I\) alors le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est négatif.
Exemple 3 :
Reprenons l'exemple précédent.● La population française est croissante sur l'intervalle \(I = [1750\,;\,1900]\) donc le taux d'accroissement entre \(1850\) et \(1900\) est positif.
● La population française est décroissante sur l'intervalle \(I = [1350\,;\,1600]\) donc le taux d'accroissement entre \(1400\) et \(1600\) est négatif.
Remarque : La réciproque de la propriété précédente n'est pas vraie.
Exemple 4 :
Soit \(f\) la fonction carré.Le taux d'accroissement entre \(-1\) et \(2\) : \[\begin{aligned} \dfrac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} &= \dfrac{2^2 - (-1)^2}{2 + 1} = \dfrac{4 - 1}{3} \\[6pt] &= \dfrac{3}{3} = 1 \text{ est positif.} \end{aligned}\] Mais la fonction carré n'est pas croissante sur l'intervalle \([-2\,;\,1]\).
3 – Taux de variation d'une fonction affine
Propriété 2 : Le taux de variation d'une fonction affine entre deux nombres \(a\) et \(b\) est constant égal à son coefficient directeur.
Remarque : En effet, une fonction affine est représentée par une droite dont la pente est constante. Réciproquement si une fonction a un taux de variation constant alors elle est affine de coefficient directeur égal à ce taux de variation.
Exemple 5 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x + 1\). Montrer que le taux de variation de \(f\) est constant.Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) : \[\begin{aligned} \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} &= \dfrac{3b + 1 - (3a + 1)}{b - a} = \dfrac{3b + 1 - 3a - 1}{b - a} \\[6pt] &= \dfrac{3b - 3a}{b - a} = \dfrac{3(b - a)}{b - a} = 3 \end{aligned}\] Le taux de variation de \(f\) est donc constant égal à \(3\) (qui est le coefficient directeur de \(f\)).
