1 – Définition du nombre dérivé
On considère une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
Soit \(a\) un nombre réel de \(I\) et soit un pas \(h > 0\). On note \(\tau_a(h)\) le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \[\tau_a(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{a + h - a} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
Soit \(a\) un nombre réel de \(I\) et soit un pas \(h > 0\). On note \(\tau_a(h)\) le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \[\tau_a(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{a + h - a} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
Définition 1 : On dit que \(f\) est dérivable en \(a\), lorsque le taux d'accroissement \(\tau_a(h)\) tend vers un nombre réel lorsque \(h\) tend vers \(0\). Ce nombre est appelé nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et est noté \(f'(a)\).
Remarque : On note alors \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h)\).
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction carré dont on a tracé ci-dessous une partie de sa courbe représentative.
\(\bullet\) \(h = 1\) : \[\begin{aligned} \tau_1(1) &= \dfrac{f(1 + 1) - f(1)}{1} = \dfrac{f(2) - f(1)}{1} \\[6pt] &= \dfrac{4 - 1}{1} = 3 \end{aligned}\] \(\bullet\) \(h = 0{,}5\) : \[\begin{aligned} \tau_1(0{,}5) &= \dfrac{f(1 + 0{,}5) - f(1)}{0{,}5} = \dfrac{f(1{,}5) - f(1)}{0{,}5} \\[6pt] &= \dfrac{2{,}25 - 1}{0{,}5} = 2{,}5 \end{aligned}\] 2) Déterminer par le calcul \(\tau_1(0{,}1)\) : \[\begin{aligned} \tau_1(0{,}1) &= \dfrac{f(1 + 0{,}1) - f(1)}{0{,}1} = \dfrac{f(1{,}1) - f(1)}{0{,}1} \\[6pt] &= \dfrac{1{,}1^2 - 1^2}{0{,}1} = \dfrac{1{,}21 - 1}{0{,}1} = 2{,}1 \end{aligned}\] 3) Montrer que pour un pas \(h > 0\) quelconque, le taux de la fonction carré est donné par \(\tau_1(h) = 2 + h\). \[\begin{aligned} \tau_1(h) &= \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1 + h)^2 - 1^2}{h} \\[6pt] &= \dfrac{1^2 + 2h + h^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h \end{aligned}\] 4) Compléter alors le tableau suivant :
| \(h\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(0{,}1\) | \(0{,}01\) | \(0{,}001\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\tau_1(h)\) | \(3\) | \(2{,}5\) | \(2{,}1\) | \(2{,}01\) | \(2{,}001\) |
Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), le taux d'accroissement \(\tau_1(h)\) de la fonction carré en \(1\) se rapproche de \(2\).
On a donc \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_1(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 + 0 = 2\). La fonction carré est donc dérivable en \(1\), et \(f'(1) = 2\).
Propriété 1 : La fonction racine carrée n'est pas dérivable en \(0\).
Démonstration :
Soit \(f(x) = \sqrt{x}\)\(\bullet\) Soit \(h > 0\). Calculons le taux d'accroissement de \(f\) en \(a = 0\) : \[\begin{aligned} \tau_0(h) &= \dfrac{\sqrt{0 + h} - \sqrt{0}}{h} = \dfrac{\sqrt{h}}{h} \\[6pt] &= \dfrac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \times \sqrt{h}} = \dfrac{1}{\sqrt{h}} \end{aligned}\] \(\bullet\) Le tableau suivant donne l'évolution de \(\tau_0(h)\) en fonction de \(h\) :
| \(h\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(0{,}1\) | \(0{,}01\) | \(0{,}001\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\tau_0(h)\) | \(1\) | \(\approx 1{,}41\) | \(\approx 3{,}16\) | \(10\) | \(\approx 31{,}62\) |
Plus \(h\) se rapproche de \(0\), plus \(\sqrt{h}\) sera petit et donc plus \(\dfrac{1}{\sqrt{h}}\) sera grand. On a donc \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_0(h) = +\infty\).
\(\bullet\) \(\tau_0(h)\) ne tend pas vers un nombre réel : la fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en \(0\).
2 – Nombre dérivé et tangente
Interprétation graphique : Soit \(f\) une fonction dérivable en \(a\).
● On note \(A\) le point de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a\).
● Pour un pas \(h > 0\), soit \(M\) le point de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a + h\).
● La droite \((AM)\) a pour coefficient directeur le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \(\tau_a(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\)
Que se passe-t-il lorsque \(h\) se rapproche de \(0\) ?
● Le point \(M\) se rapproche de \(A\), et la droite \((AM)\) se rapproche d'une « position limite » appelée tangente à la courbe de \(f\) en \(a\), et notée \(T_a\).
● La pente de cette tangente est donc « la valeur limite » de la pente de la droite \((AM)\), c'est-à-dire de \(\tau_a(h)\), quand \(h\) tend vers \(0\).
● Mais, par définition, cette valeur limite de \(\tau_a(h)\) est égale à \(f'(a)\). \[\begin{aligned} \text{Pente de } T_a &= \lim_{h \to 0} \text{Pente de } (AM) \\[6pt] &= \lim_{h \to 0} \tau_a(h) = f'(a) \end{aligned}\]
● On note \(A\) le point de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a\).
● Pour un pas \(h > 0\), soit \(M\) le point de la courbe de \(f\) d'abscisse \(a + h\).
● La droite \((AM)\) a pour coefficient directeur le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \(\tau_a(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}\)
● Le point \(M\) se rapproche de \(A\), et la droite \((AM)\) se rapproche d'une « position limite » appelée tangente à la courbe de \(f\) en \(a\), et notée \(T_a\).
● Mais, par définition, cette valeur limite de \(\tau_a(h)\) est égale à \(f'(a)\). \[\begin{aligned} \text{Pente de } T_a &= \lim_{h \to 0} \text{Pente de } (AM) \\[6pt] &= \lim_{h \to 0} \tau_a(h) = f'(a) \end{aligned}\]
Définition 2 : On appelle tangente à la courbe de \(f\) en \(a\) et on note \(T_a\) la position limite de la droite \((AM)\) lorsque \(h\) tend vers \(0\).
Remarque : La tangente \(T_a\) est la droite qui passe au plus près de la courbe de \(f\) autour de \(a\) : elle « frôle » la courbe et la « touche » en \(A\).
Propriété 2 : Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), \(f'(a)\) est égal au coefficient directeur de la tangente \(T_a\).
Exemple 2 :
Soit \(f\) la fonction carré (Fig 4). Déterminer graphiquement \(f'(1)\).
\[f'(1) = \text{coefficient directeur de } T_1 = 2\]
Remarque : La fonction racine carrée (Fig 5) n'est pas dérivable en \(0\). Sa tangente \(T_0\) est verticale (donc elle n'a pas de coefficient directeur).
Propriété 3 : Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente \(T_a\) a pour équation \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Exemple 3 :
La tangente \(T_1\) de la fonction carré a pour équation :\(T_1 : y = f'(1)(x - 1) + f(1)\). Or \(f'(1) = 2\) et \(f(1) = 1^2 = 1\).
On a donc \(T_1 : y = 2(x - 1) + 1\) c'est-à-dire \(T_1 : y = 2x - 1\).
Démonstration :
La tangente \(T_a\) a une équation de la forme \(y = mx + p\).● On sait que le coefficient directeur \(m\) de \(T_a\) est égal à \(f'(a)\). L'équation est de la forme \(y = f'(a)x + p\).
● Pour trouver l'ordonnée à l'origine \(p\), on utilise le fait que \(A(\underset{x}{\underbrace{a}}\,;\,\underset{y}{\underbrace{f(a)}}) \in T_a\).
● On obtient \(f(a) = f'(a) \cdot a + p\) d'où \(p = -f'(a) \cdot a + f(a)\).
● Finalement \(T_a\) a pour équation \(y = f'(a)x - f'(a) \cdot a + f(a)\) c'est-à-dire \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
