1 – Dérivée d'une fonction \(f\)
Définition 1 : On dit que \(f\) est dérivable sur l'intervalle \(I\), si \(f\) est dérivable en tout nombre \(a\) de \(I\).
Définition 2 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). On appelle fonction dérivée de \(f\), la fonction notée \(f'\) définie sur \(I\), qui à chaque nombre \(x\) de \(I\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
Interprétation graphique : La dérivée \(f'\) est la fonction qui associe, à chaque \(x\) de \(I\), la pente de la courbe de \(f\) en \(x\), c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) en \(x\).
2 – Dérivées des fonctions usuelles
Propriété : Tableau des dérivées des fonctions usuelles :
| Fonction \(f\) | Fonction dérivée \(f'\) | Intervalle de dérivabilité |
|---|---|---|
| \(f(x) = c\) (constante) | \(f'(x) = 0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x\) | \(f'(x) = 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = ax + b\) | \(f'(x) = a\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^2\) | \(f'(x) = 2x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^3\) | \(f'(x) = 3x^2\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = x^n\) (avec \(n\) entier, \(n \geq 2\)) | \(f'(x) = nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (ou \(\mathbb{R}^*\)) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\;;\;+\infty[\) |
| \(f(x) = |x|\) | \(f'(x) = 1\) si \(x > 0\) \(f'(x) = -1\) si \(x < 0\) |
\(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (ou \(\mathbb{R}^*\)) |
Remarques :
- La fonction inverse n'est pas dérivable en \(0\), car elle n'est pas définie en ce nombre.
- La fonction racine carrée n'est pas dérivable en \(0\), la tangente \(T_0\) à sa courbe en \(0\) est verticale, et ne possède donc pas de coefficient directeur.
- La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\), car elle n'admet pas de tangente \(T_0\).
Démonstration : Dérivée de la fonction carrée \(f(x) = x^2\)
- On considère un nombre réel quelconque \(a \in \mathbb{R}\). Nous allons montrer que \(f\) est dérivable en \(a\).
- Pour un pas \(h > 0\), calculons le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) :
- Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), \(\tau_a(h)\) se rapproche du nombre réel \(2a\).
- La fonction \(f\) est donc dérivable en \(a\) et on a donc \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h) = 2a\).
- Comme \(a\) est un nombre réel quelconque, la fonction carrée est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(f'(x) = 2x\).
Démonstration : Dérivée de la fonction inverse \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
- On considère un nombre réel non nul quelconque \(a \neq 0\). Nous allons montrer que \(f\) est dérivable en \(a\).
- Pour un pas \(h > 0\), calculons le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) :
- Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), \(\tau_a(h)\) se rapproche du nombre réel \(-\dfrac{1}{a^2}\).
- La fonction \(f\) est donc dérivable en \(a\) et on a donc \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h) = -\dfrac{1}{a^2}\).
- Comme \(a\) est un nombre réel non nul quelconque, la fonction inverse est donc dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et on a \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\).
