1 – Addition, Multiplication par un nombre
Propriété 1 : On considère \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) un nombre réel.
- Si \(f = u + v\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = u' + v'\).
- Si \(f = k \times u\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = k \times u'\).
Remarque : Si \(f = u - v\) alors \(f = u + (-1) \times v\) et on a donc \(f' = u' + (-1) \times v' = u' - v'\).
Exemple 1 :
Dériver les fonctions suivantes :
- \(f(x) = \underbrace{x^2}_{u} + \underbrace{\sqrt{x}}_{v}\). \(f\) est dérivable sur \(]0\;;\;+\infty[\) et on a \(f' = u' + v'\) c'est-à-dire \(f'(x) = 2x + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
- \(g(x) = \underbrace{3}_{k} \underbrace{x^{10}}_{u}\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(g' = k \times u'\) c'est-à-dire \(g'(x) = 3 \times 10x^9 = 30x^9\).
- \(h(x) = \underbrace{\dfrac{1}{x}}_{u} - \underbrace{x^3}_{v}\). \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) et on a \(h' = u' - v'\) c'est-à-dire \(h'(x) = -\dfrac{1}{x^2} - 3x^2\).
Exemple 2 :
Dériver les polynômes suivants :
- \(f(x) = 3x^3 - x^2 + 5x + 1\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x) = 3 \times 3x^2 - 2x + 5 \times 1 + 0 = 9x^2 - 2x + 5\).
- \(g(x) = \dfrac{1}{2}x^{10} - \dfrac{2}{3}x^6 - x\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et : \[\begin{aligned} g'(x) &= \dfrac{1}{2} \times 10x^9 - \dfrac{2}{3} \times 6x^5 - 1 \\[6pt] &= 5x^9 - 4x^5 - 1 \end{aligned}\]
2 – Dérivée d'un produit
Propriété 2 : On considère \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\).
Si \(f = u \times v\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = u'v + v'u\).
Si \(f = u \times v\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = u'v + v'u\).
Démonstration :
On considère la fonction \(f(x) = u(x) \times v(x)\).- Soit \(a\) un réel quelconque de \(I\). Pour un pas \(h > 0\), calculons le taux d'accroissement entre \(a\) et \(a + h\) : \[\tau_a(h) = \dfrac{u(a+h) \times v(a+h) - u(a) \times v(a)}{h}\]
- On va faire apparaître les taux d'accroissement de \(u\) et \(v\) en \(a\).
Pour cela, on ajoute et retranche \(u(a) \times v(a+h)\) au numérateur : \[\begin{aligned} \tau_a(h) = \dfrac{u(a+h) v(a+h) - u(a) v(a+h)}{h} \\[6pt] + \dfrac{u(a) v(a+h) - u(a) v(a)}{h} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \tau_a(h) &= \underbrace{\dfrac{u(a+h) - u(a)}{h}}_{\text{taux de } u} \times v(a+h) \\[12pt] &\quad + \; u(a) \times \underbrace{\dfrac{v(a+h) - v(a)}{h}}_{\text{taux de } v} \end{aligned}\] - Comme \(u\) et \(v\) sont dérivables en \(a\), \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{u(a+h) - u(a)}{h} = u'(a)\) et \(\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{v(a+h) - v(a)}{h} = v'(a)\).
- Le nombre \(u(a)\) ne dépend pas de \(h\) donc \(\displaystyle\lim_{h \to 0} u(a) = u(a)\) et on admet que \(\displaystyle\lim_{h \to 0} v(a+h) = v(a)\).
- On obtient donc \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau_a(h) = u'(a) \times v(a) + u(a) \times v'(a)\) et \(f\) est donc dérivable en \(a\).
- La fonction \(f(x) = u(x) \times v(x)\) est donc dérivable sur \(I\) et on a \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\).
Exemple 3 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\;;\;+\infty[\) par \(f(x) = x\sqrt{x}\).
On a \(f = u \times v\) avec \(\begin{cases} u = x \\ u' = 1 \end{cases}\) et \(\begin{cases} v = \sqrt{x} \\ v' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{cases}\). \(f\) est dérivable sur \(]0\;;\;+\infty[\) et on a \(f' = u'v + v'u\). \[\begin{aligned} f'(x) &= \sqrt{x} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times x = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} \\[6pt] &= \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x} \times \sqrt{x}}{2 \times \sqrt{x}} \\[6pt] &= \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} \end{aligned}\]
Corollaire 1 : Si \(f = u^2\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = 2u'u\).
Démonstration :
On a \(f = u^2 = u \times u\). Ainsi, d'après la propriété précédente on a \(f' = u'u + u'u = 2u'u\).Exemple 4 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (3x + 5)^2\).
On a \(f = u^2\) avec \(\begin{cases} u = 3x + 5 \\ u' = 3 \end{cases}\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(f' = 2u'u\).
On obtient \(f'(x) = 2 \times 3 \times (3x + 5) = 6(3x + 5) = 18x + 30\).
3 – Dérivée d'un quotient
Propriété 3 : On considère \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) avec \(v(x) \neq 0\) sur \(I\).
Si \(f = \dfrac{u}{v}\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}\).
Si \(f = \dfrac{u}{v}\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}\).
Exemple 5 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}\).
On a \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(\begin{cases} u = 3x \\ u' = 3 \end{cases}\) et \(\begin{cases} v = x^2 + 1 \\ v' = 2x \end{cases}\). \(x^2 + 1 \neq 0\) sur \(\mathbb{R}\) donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(f' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}\).
On obtient : \[\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{3 \times (x^2 + 1) - 2x \times 3x}{(x^2 + 1)^2} \\[6pt] &= \dfrac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{-3x^2 + 3}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned}\]
Corollaire 2 : Si \(f = \dfrac{1}{v}\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = -\dfrac{v'}{v^2}\).
Démonstration :
On a \(f = \dfrac{u}{v}\) avec \(u = 1\). On a donc \(u' = 0\). Ainsi, on a \(f' = \dfrac{0 \times v - v' \times 1}{v^2} = -\dfrac{v'}{v^2}\).Exemple 6 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\infty\;;\;2[\) par \(f(x) = \dfrac{1}{4 - 2x}\).
On a \(f = \dfrac{1}{v}\) avec \(\begin{cases} v = 4 - 2x \\ v' = -2 \end{cases}\). \(4 - 2x \neq 0\) sur \(]-\infty\;;\;2[\) donc \(f\) est dérivable sur \(]-\infty\;;\;2[\) et on a \(f' = -\dfrac{v'}{v^2}\).
On obtient \(f'(x) = -\dfrac{-2}{(4 - 2x)^2} = \dfrac{2}{(4 - 2x)^2}\).
4 – Dérivée d'une fonction composée
Propriété 4 : Soit \(g\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Si \(f(x) = g(ax + b)\) alors la fonction \(f\) est dérivable pour tout \(x\) tel que \(ax + b \in I\) et on a \(f'(x) = a \times g'(ax + b)\).
Exemple 7 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (5x + 8)^4\).
On a \(f(x) = g(ax + b)\) avec \(a = 5\), \(b = 8\) et \(g(x) = x^4\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a \(g'(x) = 4x^3\).
\(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on a : \(f'(x) = a \times g'(ax + b) = 5 \times 4(5x + 8)^3 = 20(5x + 8)^3\).
