1 – Dérivée et sens de variation

Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).

La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est positive sur \(I\).
La fonction \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est négative sur \(I\).
La fonction \(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si la dérivée \(f'\) est nulle sur \(I\).

Explication :

Courbe avec dérivée positive : la pente est positive en tout point, la fonction est croissante

Dire que \(f'\) est positive sur \(I\) signifie que la « pente » de la courbe est positive en tout point \(a\) de \(I\). La fonction est donc croissante sur \(I\).

Courbe avec dérivée négative : la pente est négative en tout point, la fonction est décroissante

Dire que \(f'\) est négative sur \(I\) signifie que la « pente » de la courbe est négative en tout point \(a\) de \(I\). La fonction est donc décroissante sur \(I\).

Exemple 1 :

Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\), par \(f(x) = 2x^2 - 12x + 5\).

On commence par dériver la fonction \(f\) : \(f'(x) = 4x - 12\).
\(f'\) est une fonction affine, elle s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-12}{4} = 3\) et \(a = 4 > 0\).

Tableau de variation de f(x) = 2x² - 12x + 5 sur R

\(f(3) = 2 \times 3^2 - 12 \times 3 + 5 = 18 - 36 + 5 = -13\).

Exemple 2 :

Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\), par \(f(x) = x^3 - 1{,}5x^2 - 6x + 2\).

On commence par dériver la fonction \(f\) : \(f'(x) = 3x^2 - 1{,}5 \times 2x - 6 = 3x^2 - 3x - 6\).
\(f'\) est un polynôme du second degré. Pour avoir son tableau de signe on doit d'abord trouver ses racines. \[\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 3 \times (-6) = 81\] \[x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 - 9}{6} = -1\] \[x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 + 9}{6} = 2\]

Tableau de variation de f(x) = x³ - 1,5x² - 6x + 2 sur R

\(f(-1) = (-1)^3 - 1{,}5 \times (-1)^2 - 6 \times (-1) + 2 = -1 - 1{,}5 + 6 + 2 = 5{,}5\).
\(f(2) = (2)^3 - 1{,}5 \times (2)^2 - 6 \times 2 + 2 = 8 - 6 - 12 + 2 = -8\).

2 – Dérivée et extremums locaux

Définition 1 :

On dit que \(f\) admet un maximum local en \(a\), si au voisinage de \(a\), \(f(a)\) est la plus grande des images.
On dit que \(f\) admet un minimum local en \(a\), si au voisinage de \(a\), \(f(a)\) est la plus petite des images.

Courbe illustrant les maxima et minima locaux : maxima locaux en a, c, e et minima locaux en b, d

La fonction a trois maximums locaux : en \(a\), \(c\) et \(e\).
La fonction a deux minimums locaux : en \(b\) et \(d\).

Exemple 3 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) dont la courbe représentative est tracée ci-dessous.
Déterminer les extremums locaux de la fonction \(f\).

Courbe représentative de f avec un maximum local en 0 et des minimums locaux en -1 et 1

La fonction admet un maximum local en \(0\) qui vaut \(1\).
La fonction admet un minimum local en \(-1\) et en \(1\) qui vaut \(0{,}5\).

Propriété 2 : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(a\) un nombre de \(I\). La fonction \(f\) admet un extremum local en \(a\) si et seulement si la dérivée \(f'\) s'annule en \(a\) en changeant de signe.

Courbe de la fonction carrée avec minimum local en 0

Exemple : Fonction carrée \(\rightarrow f(x) = x^2\)
On a \(f'(x) = 2x\).

La dérivée \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(0\).
La fonction carrée admet un extremum local en \(0\) :
Il s'agit d'un minimum local.

Courbe de la fonction cube sans extremum local en 0

Contre-exemple : Fonction cube \(\rightarrow f(x) = x^3\)
On a \(f'(x) = 3x^2\).

La dérivée \(f'\) s'annule sans changer de signe en \(0\).
La fonction cube n'admet pas d'extremum local en \(0\).

Cours n°3 — Application de la dérivation

1 – Dérivée et sens de variation

2 – Dérivée et extremums locaux