1 – Modèle discret : Fonction exponentielle et suites géométriques
Propriété 1 : Soit \(a\) un nombre réel non nul. La suite \((u_n)\) définie pour tout rang \(n \geq 0\) par \(u_n = \exp(na) = \text{e}^{na}\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = \exp(a) = \text{e}^a\).
Démonstration :
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \text{e}^{na}\).• On a \(u_0 = \text{e}^{0 \times a} = \text{e}^0 = 1\).
• Pour tout rang \(n\) : \[\begin{aligned} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} &= \dfrac{\text{e}^{(n+1)a}}{\text{e}^{na}} = \text{e}^{(n+1)a - na} \\ &= \text{e}^{(n+1-n)a} = \text{e}^a \end{aligned}\]
Ainsi, la suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = \text{e}^a\).
Remarques :
• Si \(a > 0\) alors \(q = \text{e}^a > 1\) et la suite \((u_n)\) est croissante. On parle de croissance exponentielle.
• Si \(a < 0\) alors \(q = \text{e}^a < 1\) et la suite \((u_n)\) est décroissante. On parle de décroissance exponentielle.
• Si \(a > 0\) alors \(q = \text{e}^a > 1\) et la suite \((u_n)\) est croissante. On parle de croissance exponentielle.
• Si \(a < 0\) alors \(q = \text{e}^a < 1\) et la suite \((u_n)\) est décroissante. On parle de décroissance exponentielle.
Exemple 1 :
• La suite \(u_n = \text{e}^{3n}\) est une suite géométrique de raison \(q = \text{e}^3\). Cette suite est croissante.
• La suite \(v_n = \text{e}^{-n}\) est une suite géométrique de raison \(q = \text{e}^{-1}\). Cette suite est décroissante.
Propriété 2 : Réciproquement si \((u_n)\) est une suite géométrique alors il existe un nombre réel \(a\) tel que pour tout rang \(n \geq 0\), \(u_n = u_0 \times \text{e}^{an}\).
Remarques :
• Cette propriété justifie le fait que l'on parle d'évolution exponentielle pour une suite géométrique.
• La représentation graphique de la suite \((u_n)\) est un nuage de points qui appartiennent à la courbe de la fonction \(f(t) = u_0 \times \text{e}^{at}\). On passe alors d'un modèle discret (la suite) à un modèle continu (la fonction).
• Cette propriété justifie le fait que l'on parle d'évolution exponentielle pour une suite géométrique.
• La représentation graphique de la suite \((u_n)\) est un nuage de points qui appartiennent à la courbe de la fonction \(f(t) = u_0 \times \text{e}^{at}\). On passe alors d'un modèle discret (la suite) à un modèle continu (la fonction).
Exemple 2 :
On souhaite modéliser la propagation d'un virus au sein d'une population. On estime à 500 le nombre de contaminés à ce jour dans la population et on considère que chaque jour le nombre de cas augmente de 20 %.
Pour modéliser l'évolution de l'épidémie on peut utiliser une suite (Figure 1) :
• On note \(C_n\) le nombre de contaminés après \(n\) jour. La suite \((C_n)\) est géométrique de 1er terme \(u_0 = 500\), et de raison \(q = 1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\).
• La formule explicite de cette suite est donc \(C_n = u_0 \times q^n = 500 \times 1{,}2^n\).
• La propriété précédente nous dit qu'il existe un nombre réel \(a\), tel que \(C_n = 500 \times \text{e}^{an}\). On admet ici que \(a \approx 0{,}1823\).
• Les points de la représentation graphique de \((C_n)\) appartiennent donc à la courbe de la fonction \(f(t) = 500 \times \text{e}^{0{,}1823\,t}\) (Figure 2).
2 – Modèle continu : Les fonctions sous la forme \(f(t) = \text{e}^{kt}\)
Propriété 3 : Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
Si \(f = \exp(u)\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = u' \times \exp(u)\).
Si \(f = \exp(u)\) alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et on a \(f' = u' \times \exp(u)\).
Exemple 3 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \text{e}^{x^2+1}\). Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\).
On a \(f = \text{e}^u\) avec \(u = x^2 + 1\) et \(u' = 2x\). On a donc \(f'(x) = 2x\,\text{e}^{x^2+1}\).
Propriété 4 : Soit \(k\) un nombre réel non nul et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(t) = \text{e}^{kt}\).
• Si \(k > 0\) alors \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(k < 0\) alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(k > 0\) alors \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(k < 0\) alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Démonstration :
• Commençons par dériver la fonction \(f(t) = \text{e}^{kt}\) : \(f = \text{e}^u\) avec \(u = kt\) et \(u' = k\). On a donc \(f'(t) = k\,\text{e}^{kt}\).• Si \(k > 0\) : Croissance exponentielle
\(f'(t) = \underbrace{k}_{> 0} \times \underbrace{\text{e}^{kt}}_{> 0} > 0\), pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
La dérivée est strictement positive sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(k < 0\) : Décroissance exponentielle
\(f'(t) = \underbrace{k}_{< 0} \times \underbrace{\text{e}^{kt}}_{> 0} < 0\), pour tout \(t \in \mathbb{R}\).
La dérivée est strictement négative sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Exemple 4 :
Dans un corps radioactif, une population de noyaux radioactifs décroît en suivant la loi de décroissance exponentielle \(N(t) = N_0\,\text{e}^{-\lambda t}\) où \(\lambda\) est une constante strictement positive, caractéristique du noyau étudié et \(N_0\) est le nombre de noyaux présents dans le corps radioactif à l'instant \(t = 0\).
Pour le radon 222, la valeur de \(\lambda\) est environ égale à \(0{,}19\). Ainsi, si \(N_0 = 73\), alors le nombre de noyaux présents à l'instant \(t\) (en jours) peut être modélisé par la fonction \(N(t) = 73\,\text{e}^{-0{,}19\,t}\).
On a par exemple, \(N(10) = 73\,\text{e}^{-0{,}19 \times 10} = 73\,\text{e}^{-1{,}9} \approx 11\).
Au bout de 10 jours, il restera environ 11 noyaux radioactifs.
Au bout de 10 jours, il restera environ 11 noyaux radioactifs.
