1 – Relation fonctionnelle
Propriété 1 : Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\), on a la relation suivante :
\[\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b)\]
Remarque : Cette relation fonctionnelle justifie la notation \(\text{e}^x\) sous forme de puissance : \(\text{e}^{a+b} = \text{e}^a \times \text{e}^b\).
Exemple 1 :
Simplifier les expressions suivantes :
• \(\exp(5) \times \exp(3) = \exp(3 + 5) = \exp(8)\) ou avec la notation exponentielle : \(\text{e}^5 \text{e}^3 = \text{e}^{5+3} = \text{e}^8\)
• \(\text{e}^{-4}\text{e}^3\text{e}^2\text{e}^{-1}\text{e} = \text{e}^{-4+3+2+(-1)+1} = \text{e}^0 = 1\)
• \(\text{e}^x\left(\text{e} + \text{e}^2\right) = \text{e}^x\text{e} + \text{e}^x\text{e}^2 = \text{e}^{x+1} + \text{e}^{x+2}\)
2 – Conséquences de la relation fonctionnelle
Propriété 2 : Pour tous nombres \(a\) et \(b\) et pour tout entier naturel \(n\), on a les relations suivantes :
(1) \(\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}\) avec la nouvelle notation \(\text{e}^{-a} = \dfrac{1}{\text{e}^a}\)
(2) \(\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}\) avec la nouvelle notation \(\text{e}^{a-b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}\)
(3) \(\exp(n \times a) = \exp(a)^n\) avec la nouvelle notation \(\text{e}^{na} = \left(\text{e}^a\right)^n\)
(4) \(\sqrt{\exp(a)} = \exp\!\left(\dfrac{1}{2}a\right)\) avec la nouvelle notation \(\sqrt{\text{e}^a} = \text{e}^{\frac{1}{2}a}\)
(1) \(\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}\) avec la nouvelle notation \(\text{e}^{-a} = \dfrac{1}{\text{e}^a}\)
(2) \(\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}\) avec la nouvelle notation \(\text{e}^{a-b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}\)
(3) \(\exp(n \times a) = \exp(a)^n\) avec la nouvelle notation \(\text{e}^{na} = \left(\text{e}^a\right)^n\)
(4) \(\sqrt{\exp(a)} = \exp\!\left(\dfrac{1}{2}a\right)\) avec la nouvelle notation \(\sqrt{\text{e}^a} = \text{e}^{\frac{1}{2}a}\)
Démonstration :
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels et \(n\) un entier naturel.(1) On a \(\exp(a + (-a)) = \exp(0) = 1\) d'où \(\exp(a) \times \exp(-a) = 1\) c'est-à-dire \(\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)}\).
(2) On a : \[\begin{aligned} \exp(a - b) &= \exp(a + (-b)) = \exp(a) \times \exp(-b) \\[6pt] &= \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} \end{aligned}\]
(3) \[\exp(n \times a) = \exp\!\left(\underbrace{a + \cdots + a}_{n \text{ fois}}\right) = \underbrace{\exp(a) \times \cdots \times \exp(a)}_{n \text{ fois}} = \exp(a)^n\]
(4) On a \(\left(\exp\!\left(\dfrac{1}{2}a\right)\right)^2 = \exp\!\left(2 \times \dfrac{1}{2}a\right) = \exp(a)\) d'où en appliquant la racine carrée \(\exp\!\left(\dfrac{1}{2}a\right) = \sqrt{\exp(a)}\).
Exemple 2 :
Simplifier les expressions suivantes :
• \(\dfrac{1}{\text{e}} = \dfrac{1}{\text{e}^1} = \text{e}^{-1}\)
• \(\dfrac{\text{e}^6\text{e}^7}{\text{e}^8} = \dfrac{\text{e}^{6+7}}{\text{e}^8} = \text{e}^{13-8} = \text{e}^5\)
• \(\left(\text{e}^5\right)^3 = \text{e}^{5 \times 3} = \text{e}^{15}\)
• \(\sqrt{\text{e}^{8x}} = \text{e}^{\frac{1}{2} \times 8x} = \text{e}^{4x}\)
• \[\begin{aligned} \dfrac{1}{(\text{e}^{-0{,}5x})^2} &= \dfrac{1}{\text{e}^{2 \times (-0{,}5)x}} = \dfrac{1}{\text{e}^{-x}} \\[6pt] &= \text{e}^{-(-x)} = \text{e}^x \end{aligned}\]
Remarque : Attention, il n'y a pas de formule pour simplifier les expressions du type \(\text{e}^a + \text{e}^b\) ou \(\text{e}^a - \text{e}^b\).
