1 – Définition et Courbe représentative
Théorème Définition 1 : Il existe une unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) tel que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\).
Cette fonction \(f\) est appelée la fonction exponentielle et elle est notée \(f(x) = \exp(x)\).
Cette fonction \(f\) est appelée la fonction exponentielle et elle est notée \(f(x) = \exp(x)\).
Remarque : Dire qu'une fonction \(f\) est égale à sa dérivée \(f'\), signifie que la valeur de cette fonction est égale en tout point à la pente de la courbe de cette fonction. Pour construire cette fonction, on démarre du point \(f(0) = 1\) où la courbe a une pente égale à 1. Puis, la valeur de la fonction augmente progressivement en même temps que la pente de sa courbe. On obtient une courbe qui croît de plus en plus rapidement d'où cette appellation de « fonction exponentielle ».
Courbe représentative : Voici la courbe représentative de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \exp(x)\).
• La courbe de la fonction exponentielle a pour tangente en \(x = 0\) la droite \(T_0\) d'équation :
\[T_0 : y = \exp'(0)(x - 0) + \exp(0)\]
c'est-à-dire
\[T_0 : y = x + 1\]
En effet, par définition \(\exp'(0) = \exp(0) = 1\).
• On appelle nombre d'Euler et on note \(e\), l'image de \(1\) par la fonction exponentielle : \(e = \exp(1)\).
Ce nombre est irrationnel et a pour valeur approchée \(e \approx 2{,}718\ 281\ 828\ 459\ 045\).
• On utilise souvent pour cette fonction la notation exponentielle \(f(x) = \text{e}^x\).
Avec cette notation on a \(\text{e}^0 = \exp(0) = 1\) et \(\text{e}^1 = \exp(1) = e\).
Ce nombre est irrationnel et a pour valeur approchée \(e \approx 2{,}718\ 281\ 828\ 459\ 045\).
• On utilise souvent pour cette fonction la notation exponentielle \(f(x) = \text{e}^x\).
Avec cette notation on a \(\text{e}^0 = \exp(0) = 1\) et \(\text{e}^1 = \exp(1) = e\).
2 – Propriétés de la fonction exponentielle
Propriété 1 :
• Pour tout nombre réel \(x\), \(\exp'(x) = \exp(x)\).
• La fonction exponentielle est strictement positive : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\exp(x) > 0\).
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Pour tout nombre réel \(x\), \(\exp'(x) = \exp(x)\).
• La fonction exponentielle est strictement positive : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\exp(x) > 0\).
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Remarque : En particulier la fonction exponentielle ne s'annule jamais.
