1 – Enroulement de la droite autour du cercle trigonométrique
Définition 1 : Dans le repère orthonormé \((O\;;\;I,J)\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
On peut enrouler la droite des réels autour du cercle trigonométrique :
Dans le sens direct pour les nombres positifs
Dans le sens indirect pour les nombres négatifs
- A chaque réel \(x\) de la droite numérique, on associe un unique point \(M\) du cercle trigonométrique.
- Le point \(M\) est alors associé à tous les réels de la forme \(x + k \cdot 2\pi\) avec \(k\) entier.
- Lorsque \(x \in [0\;;\;2\pi]\), \(x\) est la longueur de l'arc de cercle \(\widehat{IM}\).
2 – Valeurs remarquables
Voici les valeurs remarquables du cercle trigonométrique :
3 – Le Radian
Le radian est une unité de mesure d'angle :
Définition 2 : La mesure en radian de l'angle \(\widehat{IOM}\) est la longueur \(x\) de l'arc de cercle \(\widehat{IM}\) sur le cercle trigonométrique. On note alors \(\widehat{IOM} = x\) rad.
Mesure en radian des angles remarquables :
| Mesure en degré | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mesure en radian | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Remarque : Pour convertir des degrés en radians et inversement il suffit de faire un produit en croix.
Exemple 1 :
Conversion
1) Un angle mesure \(20°\). Quelle est sa mesure en radian ?
| \(180°\) | \(20°\) |
|---|---|
| \(\pi\) | \(?\) |
2) Un angle mesure \(\dfrac{5\pi}{4}\) rad. Quelle est sa mesure en degré ?
| \(180°\) | \(?\) |
|---|---|
| \(\pi\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) |
