1 – Définition et valeurs remarquables
Dans le repère orthonormé \((O\;;\;I,J)\), on considère le cercle trigonométrique.
Définition 1 : Soit \(x\) un réel et \(M\) le point du cercle trigonométrique associé à \(x\).
On appelle cosinus du réel \(x\) et note \(\cos(x)\), l'abscisse du point \(M\).
On appelle sinus du réel \(x\) et note \(\sin(x)\), l'ordonnée du point \(M\).
On appelle cosinus du réel \(x\) et note \(\cos(x)\), l'abscisse du point \(M\).
On appelle sinus du réel \(x\) et note \(\sin(x)\), l'ordonnée du point \(M\).
Remarque : Le point \(M\) a donc pour coordonnées : \(M(\cos(x)\;;\;\sin(x))\).
Valeurs remarquables à connaître :
\(\cos(\pi) = -1\) \(\sin(\pi) = 0\)
\(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\) \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1\)
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
\(\cos(\pi) = -1\) \(\sin(\pi) = 0\)
\(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\) \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1\)
Démonstration pour \(x = \dfrac{\pi}{3}\) :
Soit \(A\) le point image de \(\dfrac{\pi}{3}\) sur le cercle trigonométrique.
Le triangle \(AOI\) est équilatéral car \(OA = OI = 1\) et \(\widehat{AOI} = 60°\).
Dans un triangle équilatéral, hauteurs et médianes sont confondues.
L'abscisse du point \(A\) est égale à la moitié de \(OI = 1\) : \[\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = OC = \dfrac{1}{2}\] Le triangle \(OAC\) est rectangle en \(C\). D'après le théorème de Pythagore on a : \[OC^2 + AC^2 = OA^2 \quad \text{d'où} \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + AC^2 = 1^2\] \[\dfrac{1}{4} + AC^2 = 1\] \[AC^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \quad \text{d'où} \quad AC = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\] L'ordonnée de \(A\) est égale à \(OB = AC\) : \[\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \square\]
Le triangle \(AOI\) est équilatéral car \(OA = OI = 1\) et \(\widehat{AOI} = 60°\).
Dans un triangle équilatéral, hauteurs et médianes sont confondues.
L'abscisse du point \(A\) est égale à la moitié de \(OI = 1\) : \[\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = OC = \dfrac{1}{2}\] Le triangle \(OAC\) est rectangle en \(C\). D'après le théorème de Pythagore on a : \[OC^2 + AC^2 = OA^2 \quad \text{d'où} \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + AC^2 = 1^2\] \[\dfrac{1}{4} + AC^2 = 1\] \[AC^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \quad \text{d'où} \quad AC = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\] L'ordonnée de \(A\) est égale à \(OB = AC\) : \[\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \square\]
Démonstration pour \(x = \dfrac{\pi}{4}\) :
Soit \(A\) le point image de \(\dfrac{\pi}{4}\) sur le cercle trigonométrique.
Le triangle \(AOB\) est rectangle isocèle en \(B\) :
\(\widehat{ABO}\) est un angle droit et \(\widehat{AOB} = 45°\) donc \(\widehat{OAB} = 45°\) (car \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{O} = 180°\)).
D'après le théorème de Pythagore, et comme \(OB = AB\) on a : \[OB^2 + AB^2 = OA^2 \quad \text{d'où} \quad 2\,AB^2 = 1^2\] \[\text{d'où} \quad AB^2 = \dfrac{1}{2}\] \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[6pt] &= \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\] L'abscisse et l'ordonnée de \(A\) sont égales à \(OB = OC = AB\) : \[\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \square\]
Le triangle \(AOB\) est rectangle isocèle en \(B\) :
\(\widehat{ABO}\) est un angle droit et \(\widehat{AOB} = 45°\) donc \(\widehat{OAB} = 45°\) (car \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{O} = 180°\)).
D'après le théorème de Pythagore, et comme \(OB = AB\) on a : \[OB^2 + AB^2 = OA^2 \quad \text{d'où} \quad 2\,AB^2 = 1^2\] \[\text{d'où} \quad AB^2 = \dfrac{1}{2}\] \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[6pt] &= \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\] L'abscisse et l'ordonnée de \(A\) sont égales à \(OB = OC = AB\) : \[\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \square\]
2 – Propriétés du cosinus et du sinus
Propriété 1 : Pour tout réel \(x\), on a : \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\) et \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).
Démonstration :
Les points du cercle trigonométrique ont une abscisse/ordonnée comprise entre \(-1\) et \(1\).
Propriété 2 : Pour tout réel \(x\), on a \(\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + k \cdot 2\pi) = \sin(x)\), pour \(k\) entier.
Démonstration :
Les nombres \(x\) et \(x + k \cdot 2\pi\) sont associés au même point du cercle trigonométrique.
Propriété 3 : Pour tout réel \(x\), on a \(\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1\).
Démonstration :
Soit \(x\) un nombre réel et \(M\) le point du cercle qui lui est associé.
Dans le repère \((O\;;\;I\;;\;J)\) le point \(M\) a pour coordonnées \(M(\cos(x)\;;\;\sin(x))\).
Plaçons le point \(H(\cos(x)\;;\;0)\). Le triangle \(OHM\) est donc rectangle en \(H\).
On a \(OH = \cos(x)\) ; \(HM = \sin(x)\) et \(OM = 1\) (c'est le rayon du cercle trigonométrique).
D'après le théorème de Pythagore on a \(OH^2 + HM^2 = OM^2\), c'est-à-dire \(\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1\).
Dans le repère \((O\;;\;I\;;\;J)\) le point \(M\) a pour coordonnées \(M(\cos(x)\;;\;\sin(x))\).
Plaçons le point \(H(\cos(x)\;;\;0)\). Le triangle \(OHM\) est donc rectangle en \(H\).
On a \(OH = \cos(x)\) ; \(HM = \sin(x)\) et \(OM = 1\) (c'est le rayon du cercle trigonométrique).
D'après le théorème de Pythagore on a \(OH^2 + HM^2 = OM^2\), c'est-à-dire \(\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1\).
Propriété 4 : Pour tout réel \(x\), on a les formules suivantes :
\(\cos(-x) = \cos(x)\)
\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
\(\cos(-x) = \cos(x)\)
\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
Exemple 1 :
\(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\)
3 – Lien avec le cosinus/sinus dans un triangle rectangle
La définition du cosinus et du sinus via le cercle trigonométrique permet de définir \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\) pour n'importe quel nombre réel \(x\). Cette définition est cohérente et prolonge la définition du cosinus et du sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle :
Soit \(x\) un nombre réel compris entre \(0\) et \(\dfrac{\pi}{2}\).
On se place dans le triangle rectangle \(OHM\).
\(x\) est alors la mesure en radian de l'angle \(\widehat{HOM}\).
\[\begin{aligned} \cos\!\left(\widehat{HOM}\right) &= \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{OH}{OM} \\[6pt] &= OH = \cos(x) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \sin\!\left(\widehat{HOM}\right) &= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{MH}{OM} \\[6pt] &= MH = \sin(x) \end{aligned}\]
On se place dans le triangle rectangle \(OHM\).
\(x\) est alors la mesure en radian de l'angle \(\widehat{HOM}\).
\[\begin{aligned} \cos\!\left(\widehat{HOM}\right) &= \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{OH}{OM} \\[6pt] &= OH = \cos(x) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \sin\!\left(\widehat{HOM}\right) &= \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{MH}{OM} \\[6pt] &= MH = \sin(x) \end{aligned}\]
