1 – Définitions et courbes représentatives
Définition 1 :
On appelle fonction cosinus la fonction qui à chaque nombre réel \(x\) associe son cosinus \(\cos(x)\).
On appelle fonction sinus la fonction qui à chaque nombre réel \(x\) associe son sinus \(\sin(x)\).
On appelle fonction cosinus la fonction qui à chaque nombre réel \(x\) associe son cosinus \(\cos(x)\).
On appelle fonction sinus la fonction qui à chaque nombre réel \(x\) associe son sinus \(\sin(x)\).
Courbe représentative :
2 – Propriétés des fonctions trigonométriques
Propriété 1 : Les fonctions cosinus et sinus sont bornées entre \(-1\) et \(1\) :
Pour tout réel \(x\), on a \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\) et \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).
Pour tout réel \(x\), on a \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\) et \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).
Propriété 2 :
La fonction cosinus est paire : Pour tout réel \(x\), on a \(\cos(-x) = \cos(x)\).
Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction sinus est impaire : Pour tout réel \(x\), on a \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
La fonction cosinus est paire : Pour tout réel \(x\), on a \(\cos(-x) = \cos(x)\).
Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La fonction sinus est impaire : Pour tout réel \(x\), on a \(\sin(-x) = -\sin(x)\).
Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Propriété 3 : Les fonctions cosinus et sinus sont \(2\pi\)-périodiques :
Pour tout entier \(k\), pour tout réel \(x\), on a \(\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + k \cdot 2\pi) = \sin(x)\).
Pour tout entier \(k\), pour tout réel \(x\), on a \(\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + k \cdot 2\pi) = \sin(x)\).
Remarque : Les courbes des fonctions trigonométriques sont la répétition à l'infini d'un même "motif" de courbe de taille \(2\pi\). On dit que \(2\pi\) est la période de la fonction.
3 – Dérivation des fonctions trigonométriques
Propriété 4 : Les fonctions trigonométriques sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
La dérivée de la fonction cosinus \(f(x) = \cos(x)\) est égale à \(f'(x) = -\sin(x)\).
La dérivée de la fonction sinus \(f(x) = \sin(x)\) est égale à \(f'(x) = \cos(x)\).
La dérivée de la fonction cosinus \(f(x) = \cos(x)\) est égale à \(f'(x) = -\sin(x)\).
La dérivée de la fonction sinus \(f(x) = \sin(x)\) est égale à \(f'(x) = \cos(x)\).
Moyen mnémotechnique : Pour se souvenir des formules on pourra retenir la figure suivante.
Propriété 5 : Soit \(u\) une fonction dérivable sur \(I\).
Les fonctions de la forme \(f = \cos\,u\) sont dérivables sur \(I\) et on a : \(f' = -u' \times \sin\,u\).
Les fonctions de la forme \(f = \sin\,u\) sont dérivables sur \(I\) et on a : \(f' = u' \times \cos\,u\).
Les fonctions de la forme \(f = \cos\,u\) sont dérivables sur \(I\) et on a : \(f' = -u' \times \sin\,u\).
Les fonctions de la forme \(f = \sin\,u\) sont dérivables sur \(I\) et on a : \(f' = u' \times \cos\,u\).
Exemple 1 :
Dériver les fonctions suivantes :
\(f(x) = \cos(3x + 5)\) : On a \(f = \cos\,u\) avec \(\begin{cases} u = 3x + 5 \\ u' = 3 \end{cases}\). \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
On a \(f' = -u' \sin(u)\). On obtient \(f'(x) = -3\sin(3x + 5)\).
\(g(x) = \sin(x^2 - 3)\) : On a \(g = \sin\,u\) avec \(\begin{cases} u = x^2 - 3 \\ u' = 2x \end{cases}\). \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
On a \(g' = u' \cos(u)\). On obtient \(g'(x) = 2x\cos(x^2 - 3)\).
