1 – Définition d'un vecteur normal
Définition 1 : On considère une droite \((D)\) de vecteur directeur \(\vec{u}\). On appelle vecteur normal à \((D)\), un vecteur \(\vec{n}\) non nul orthogonal à \(\vec{u}\), i.e tel que \(\vec{u}.\vec{n} = 0\).
Remarques :
• Un vecteur normal à \((D)\) est dans la direction perpendiculaire à celle-ci.
• Tout vecteur colinéaire à \(\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de \((D)\).
• Tout vecteur colinéaire à \(\vec{n}\) est aussi un vecteur normal à \((D)\).
• Un vecteur normal à \((D)\) est dans la direction perpendiculaire à celle-ci.
• Tout vecteur colinéaire à \(\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de \((D)\).
• Tout vecteur colinéaire à \(\vec{n}\) est aussi un vecteur normal à \((D)\).
Exemple 1 :
• \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \((D)\). Il donne la direction de \((D)\).
• \(\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D)\) :
On a \(\vec{u}.\vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0\).
• \(\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D)\) :
On a \(\vec{u}.\vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 2 - 2 = 0\).
Remarque : Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur d'une droite \((D)\) alors \(\vec{n}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D)\).
En effet, \(\vec{u}.\vec{n} = a \times (-b) + b \times a = -ab + ab = 0\).
En effet, \(\vec{u}.\vec{n} = a \times (-b) + b \times a = -ab + ab = 0\).
2 – Vecteur normal et équation cartésienne
Rappel : Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels.
• L'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tel que \(ax + by + c = 0\) est une droite de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
On dit que cette droite a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).
• Réciproquement, toute droite de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) a une équation sous la forme \(ax + by + c = 0\).
• L'ensemble des points \(M(x\,;\,y)\) tel que \(ax + by + c = 0\) est une droite de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\).
On dit que cette droite a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).
• Réciproquement, toute droite de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) a une équation sous la forme \(ax + by + c = 0\).
Théorème 1 : Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois nombres réels tel que \((a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)\). Une droite \((D)\) a une équation cartésienne sous la forme \(ax + by + c = 0\) si et seulement si \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D)\).
Démonstration :
On considère une droite \((D)\) et \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) un vecteur.« \(\Rightarrow\) » : Supposons que \((D)\) a pour équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).
• Le vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) est donc un vecteur directeur de \((D)\).
• Ainsi, \(\vec{n}.\vec{u} = a \times (-b) + b \times a = -ab + ba = 0\) ce qui prouve que \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D)\).
« \(\Leftarrow\) » : Supposons maintenant que \((D)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et soit \(A(x_A\,;\,y_A)\) un point de \((D)\).
• \(M(x\,;\,y) \in (D) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\) est un vecteur directeur de \((D) \Leftrightarrow \vec{n}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont orthogonaux \(\Leftrightarrow \vec{n}.\overrightarrow{AM} = 0\).
• Or \(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - x_A \\ y - y_A \end{pmatrix}\) et on a \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\).
• On a donc : \[\begin{aligned} M(x\,;\,y) \in (D) &\Leftrightarrow a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \\ &\Leftrightarrow ax - ax_A + by - by_A = 0 \\ &\Leftrightarrow ax + by + \underbrace{(-ax_A - by_A)}_{= c} = 0 \end{aligned}\] • Ainsi on a montré que \((D)\) a une équation sous la forme \(ax + by + c = 0\) avec \(c = -ax_A - by_A\). \(\square\)
Exemple 2 :
1) Soit \((D_1)\) la droite d'équation \((D_1) : 2x + 3y - 1 = 0\).
Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{n_1}\) normal à \((D_1)\).
\(a = 2\) et \(b = 3\) donc \(\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D_1)\).
2) Soit \((D_2)\) la droite passant par le point \(A(2\,;\,1)\) et de vecteur normal \(\vec{n_2}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Déterminer une équation cartésienne de \((D_2)\).
• \(M(x\,;\,y) \in (D_2) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\) et \(\vec{n_2}\) sont orthogonaux \(\Leftrightarrow \vec{n_2}.\overrightarrow{AM} = 0\).
• \(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix}\) et on a \(\vec{n_2}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). • \[\begin{aligned} M(x\,;\,y) \in (D_2) &\Leftrightarrow (-1) \times (x - 2) + 2 \times (y - 1) = 0 \\ &\Leftrightarrow -x + 2 + 2y - 2 = 0 \\ &\Leftrightarrow -x + 2y = 0 \end{aligned}\]
• L'équation cartésienne de \((D_2)\) est \((D_2) : -x + 2y = 0\).
Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{n_1}\) normal à \((D_1)\).
\(a = 2\) et \(b = 3\) donc \(\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((D_1)\).
2) Soit \((D_2)\) la droite passant par le point \(A(2\,;\,1)\) et de vecteur normal \(\vec{n_2}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
Déterminer une équation cartésienne de \((D_2)\).
• \(M(x\,;\,y) \in (D_2) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\) et \(\vec{n_2}\) sont orthogonaux \(\Leftrightarrow \vec{n_2}.\overrightarrow{AM} = 0\).
• \(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x_M - x_A \\ y_M - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \end{pmatrix}\) et on a \(\vec{n_2}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\). • \[\begin{aligned} M(x\,;\,y) \in (D_2) &\Leftrightarrow (-1) \times (x - 2) + 2 \times (y - 1) = 0 \\ &\Leftrightarrow -x + 2 + 2y - 2 = 0 \\ &\Leftrightarrow -x + 2y = 0 \end{aligned}\]
• L'équation cartésienne de \((D_2)\) est \((D_2) : -x + 2y = 0\).
Théorème 2 : Soient deux droites \((d)\) et \((d')\) d'équation cartésienne respectives \((d) : ax + by + c = 0\) et \((d') : a'x + b'y + c' = 0\). Alors :
• \((d) \parallel (d')\) si et seulement si \(ab' - a'b = 0\).
• \((d) \bot (d')\) si et seulement si \(aa' + bb' = 0\).
• \((d) \parallel (d')\) si et seulement si \(ab' - a'b = 0\).
• \((d) \bot (d')\) si et seulement si \(aa' + bb' = 0\).
Démonstration :
\((d)\) a pour vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \((d')\) a pour vecteur normal \(\vec{n'}\begin{pmatrix} a' \\ b' \end{pmatrix}\).• \((d) \parallel (d') \Leftrightarrow \vec{n}\) et \(\vec{n'}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow \det(\vec{n},\vec{n'}) = 0 \Leftrightarrow ab' - a'b = 0\).
• \((d) \bot (d') \Leftrightarrow \vec{n}\) et \(\vec{n'}\) sont orthogonaux \(\Leftrightarrow \vec{n}.\vec{n'} = 0 \Leftrightarrow aa' + bb' = 0\). \(\square\)
Exemple 3 :
Parmi les trois droites suivantes identifier les couples de droites parallèles et perpendiculaires :
\[(D_1) : -2x + 9y = 28 \quad;\quad (D_2) : 4x - 18y = -12 \quad\text{et}\quad (D_3) : 9x + 2y = 9\]
• \((D_1) \bot (D_3)\) car \(-2 \times 9 + 9 \times 2 = 0\).
• \((D_2) \bot (D_3)\) car si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.
