1 – Probabilité de \(B\) sachant \(A\)
Définition 1 : Soient \(A\) et \(B\) deux évènements avec \(P(A) \neq 0\). La probabilité que l'évènement \(B\) se réalise sachant que l'évènement \(A\) est déjà réalisé, est notée \(P_{A}(B)\) (qui se lit « \(P\) de \(B\) sachant \(A\) ») et définie par :
\[P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\]
Remarque : \(P_{B}(A) \neq P_{A}(B)\)
Exemple 1 :
La répartition des groupes sanguins dans la population française est donnée dans le tableau ci-dessous. On choisit une personne au hasard dans la population française.
On considère les deux évènements suivants :
\(A\) : « La personne est du groupe \(A\) »
\(B\) : « La personne est de rhésus positif »
\(A\) : « La personne est du groupe \(A\) »
\(B\) : « La personne est de rhésus positif »
On a : \(P(A) = \dfrac{45}{100} = 0{,}45\) \(P(B) = \dfrac{85}{100} = 0{,}85\) \(P(A \cap B) = \dfrac{39}{100} = 0{,}39\)
\(P_{A}(B)\) désigne la probabilité de choisir une personne de rhésus positif sachant qu'elle est du groupe \(A\) : \[P_{A}(B) = \dfrac{0{,}39}{0{,}45} = \dfrac{39}{45} \approx 0{,}87\] En effet, sur une base de \(100\) personnes, il y a \(45\) individus du groupe \(A\) parmi lesquels \(39\) sont de rhésus \(+\).
\(P_{B}(A)\) désigne la probabilité de choisir une personne du groupe \(A\) sachant qu'elle est de rhésus positif. \[P_{B}(A) = \dfrac{0{,}39}{0{,}85} = \dfrac{39}{85} \approx 0{,}46 \neq P_{A}(B)\]
2 – Propriétés
Propriété 1 : Soient \(A\) et \(B\) deux évènements de probabilités non nulles.
\[P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)\]
\[P(A \cap B) = P(B) \times P_{B}(A)\]
Exemple 2 :
Dans un lycée, il y a 22 % des élèves qui sont en première générale. Parmi ceux-ci, ils sont 55 % à avoir choisi la spécialité « Mathématiques ». On interroge un élève du lycée au hasard. Quelle est la probabilité que l'élève interrogé soit un élève de première ayant choisi la spécialité « Mathématiques ».
\(G\) : « La personne est en première générale » et \(M\) : « La personne a choisi la spécialité Mathématiques ».
On sait que \(P(G) = 0{,}22\) et \(P_{G}(M) = 0{,}55\). On cherche : \[P(G \cap M) = P(G) \times P_{G}(M) = 0{,}22 \times 0{,}55 \approx 0{,}12.\]
Propriété 2 : Soit \(A\) un évènement de probabilité non nulle, alors la probabilité conditionnelle \(P_{A}\) vérifie les propriétés d'une probabilité. Autrement dit, pour tous évènements \(B\) et \(C\) de l'univers \(\Omega\) on a :
\(P_{A}\left( \overline{B} \right) = 1 - P_{A}(B)\) \(P_{A}(B \cup C) = P_{A}(B) + P_{A}(C) - P_{A}(B \cap C)\)
\(P_{A}(\Omega) = 1\) et \(P_{A}(\varnothing) = 0\) \(0 \leq P_{A}(B) \leq 1\)
\(P_{A}\left( \overline{B} \right) = 1 - P_{A}(B)\) \(P_{A}(B \cup C) = P_{A}(B) + P_{A}(C) - P_{A}(B \cap C)\)
\(P_{A}(\Omega) = 1\) et \(P_{A}(\varnothing) = 0\) \(0 \leq P_{A}(B) \leq 1\)
Exemple 3 :
Dans l'exemple 1, la probabilité d'interroger une personne de rhésus négatif sachant qu'elle est du groupe \(A\) est donnée par :
\[P_{A}\left( \overline{B} \right) = 1 - P_{A}(B) \approx 1 - 0{,}87 \approx 0{,}13\]
