1 – Règles de calculs dans un arbre pondéré
Arbre pondéré :
On peut représenter une situation aléatoire avec des probabilités conditionnelles avec un arbre pondéré.
Sur le 1er niveau on place \(P(A)\) sur la branche qui mène vers \(A\).
Sur le 2e niveau on place les probabilités conditionnelles :
\(P_{A}(B)\) se place sur la branche de \(A\) vers \(B\).
Un chemin complet, \(A\) suivi de \(B\), correspond à l'intersection \(A \cap B\).
Règle 1 : À partir d'un même nœud, la somme des probabilités sur les branches est égale à 1.
Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin.
Sur le 2e niveau on place les probabilités conditionnelles :
\(P_{A}(B)\) se place sur la branche de \(A\) vers \(B\).
Un chemin complet, \(A\) suivi de \(B\), correspond à l'intersection \(A \cap B\).
Règle 1 : À partir d'un même nœud, la somme des probabilités sur les branches est égale à 1.
Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin.
Remarque : Le principe multiplicatif dans un arbre s'appuie sur la formule : \(P(A \cap B) = P_{A}(B) \times P(A)\).
Exemple 1 :
L'Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies (OFDT) a réalisé une enquête auprès des jeunes de \(18\) à \(25\) ans sur leur consommation de tabac et d'alcool. Parmi les personnes interrogés :
\(78\;\%\) d'entre eux déclarent consommer de l'Alcool (au moins une fois lors du dernier mois)
Parmi ceux qui consomment de l'alcool, \(43\;\%\) d'entre eux déclarent consommer également du tabac.
Parmi ceux qui ne consomment pas d'alcool, \(15\;\%\) d'entre eux déclarent consommer du tabac.
On interroge un jeune au hasard. On considère les évènements suivants :
\(A\) : « La personne interrogée consomme de l'alcool » et \(B\) : « La personne interrogée consomme du tabac »
1) Traduire les informations de l'énoncé en probabilité à l'aide des probabilités conditionnelles
\(P(A) = 0{,}78\) ; \(P_{A}(B) = 0{,}43\) et \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}15\)
2) Compléter l'arbre pondéré suivant :
D'après l'arbre on a \(P(A \cap B) \approx 0{,}34\), donc la probabilité est d'environ \(34\;\%\).
b. Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne consomme ni tabac ni alcool.
D'après l'arbre on a \(P\left( \overline{A} \cap \overline{B} \right) \approx 0{,}19\), donc la probabilité est d'environ \(19\;\%\).
2 – Formule des probabilités totales
Définition 1 : On dit que les évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), ... \(A_{n}\) forment une partition de l'univers \(\Omega\) si
Les évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), ... \(A_{n}\) sont deux à deux disjoints :
Pour tous indices \(i\) et \(j\) allant de \(1\) à \(n\), \(A_{i} \cap A_{j} = \varnothing\)
La réunion des évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), ... \(A_{n}\) est égale à l'univers :
\(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n} = \Omega\)
Les évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), ... \(A_{n}\) sont deux à deux disjoints :
Pour tous indices \(i\) et \(j\) allant de \(1\) à \(n\), \(A_{i} \cap A_{j} = \varnothing\)
La réunion des évènements \(A_{1}\), \(A_{2}\), ... \(A_{n}\) est égale à l'univers :
\(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n} = \Omega\)
Exemple 2 :
On choisit un élève du lycée au hasard. L'univers \(\Omega\) est l'ensemble des élèves du lycée. Les évènements \(A_{1}\) : « L'élève est en seconde » ; \(A_{2}\) : « L'élève est en première » et \(A_{3}\) : « L'élève est en Terminale » forment une partition de l'univers \(\Omega\).
Remarque : Un évènement \(A\) de probabilité non nulle et son évènement contraire \(\overline{A}\) forment toujours une partition de l'univers \(\Omega\).
Propriété 1 : Soit une partition \(A_{1}\), \(A_{2}\), ... \(A_{n}\) de l'univers \(\Omega\).
Pour tout évènement \(B\) de l'univers \(\Omega\), on a la formule suivante, dite des probabilités totales : \[P(B) = P\left( A_{1} \cap B \right) + P\left( A_{2} \cap B \right) + \ldots + P(A_{n} \cap B)\]
Pour tout évènement \(B\) de l'univers \(\Omega\), on a la formule suivante, dite des probabilités totales : \[P(B) = P\left( A_{1} \cap B \right) + P\left( A_{2} \cap B \right) + \ldots + P(A_{n} \cap B)\]
La formule des probabilités totales peut être reformulée comme une troisième règle de calcul dans les arbres pondérés :
Règle 3 : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. \[P(B) = P\left( A_{1} \cap B \right) + P\left( A_{2} \cap B \right) + \ldots + P(A_{n} \cap B)\]
Règle 3 : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. \[P(B) = P\left( A_{1} \cap B \right) + P\left( A_{2} \cap B \right) + \ldots + P(A_{n} \cap B)\]
Remarque : Lorsque la partition est limitée à un évènement \(A\) et son contraire, on obtient une formule plus simple :
\[P(B) = P(A \cap B) + P\left( \overline{A} \cap B \right)\]
Exemple 3 :
Reprenons le contexte de l'exemple 1.
1) Quelle est la probabilité que la personne interrogée consomme du tabac.
Les évènements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers \(\Omega\). \[P(B) = P(A \cap B) + P\left( \overline{A} \cap B \right) \approx 0{,}34 + 0{,}03 \approx 0{,}37\] Donc la probabilité est d'environ \(37\;\%\).
2) On interroge un fumeur, quelle est la probabilité qu'il boive de l'alcool ?
On cherche la probabilité d'interroger une personne qui consomme de l'alcool sachant qu'elle consomme du tabac c'est-à-dire \(P_{B}(A)\) : \[P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}34}{0{,}37} \approx 0{,}92.\] Donc la probabilité est d'environ \(92\;\%\).
