1 – La notion de variable aléatoire
Une variable aléatoire est une variable numérique dont la valeur dépend du hasard :
Définition 1 : Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire \(X\) est une fonction qui à chaque issue \(w\) de \(\Omega\) associe un unique nombre réel.
Remarques : On dit que la variable \(X\) est de type fini lorsqu'elle ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs.
- On note alors \(E = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) l'ensemble des valeurs prises par la variable \(X\).
- On note \(X = x_i\) l'événement composé des issues qui mènent au réel \(x_i\).
- On définit de manière analogue les évènements \(X \leq x_i\), \(X \geq x_i\), \(X < x_i\) et \(X > x_i\).
Exemple 1 :
On considère le jeu suivant : On lance une pièce. Si la pièce tombe sur « \(Pile\) » alors on gagne \(1\) €, si la pièce tombe sur « \(Face\) » on perd \(1\) €. Représenter cette situation à l'aide d'une variable aléatoire.
- L'univers est \(\Omega = \{Pile\;;\;Face\}\).
- Soit \(X\) le gain du joueur. \(X\) est une variable aléatoire.
- L'ensemble des valeurs possibles pour \(X\) est \(E = \{-1\;;\;1\}\).
- On a \(X(Pile) = 1\) et \(X(Face) = -1\).
- « \(X = 1\) » correspond à l'évènement « \(Pile\) ».
- Si la pièce est bien équilibrée on a : \(P(X = 1) = 0{,}5\).
Exemple 2 :
On considère le jeu suivant : On lance un dé. Si le dé tombe sur « \(1\) » alors on gagne \(1\) $, si le dé tombe sur « \(6\) » on gagne \(6\) $, sinon on perd \(2\) $. Représenter cette situation à l'aide d'une variable aléatoire.
- L'univers est \(\Omega = \{1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\;;\;6\}\).
- Soit \(X\) le gain du joueur. \(X\) est une variable aléatoire.
- L'ensemble des valeurs possibles pour \(X\) est \(E = \{-2\;;\;1\;;\;6\}\).
- On a \(X(1) = 1\), \(X(2) = -2\) ; etc.
- « \(X = -2\) » correspond à l'événement \(\{2, 3, 4, 5\}\).
- « \(X \geq 0\) » correspond à l'événement \(\{1, 6\}\).
- Si le dé est bien équilibré on a : \(P(X \geq 0) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Exemple 3 :
À l'aide de la calculatrice, on peut générer un nombre aléatoire entre \(0\) et \(1\).
- Appuyer sur la touche \(MATH\) puis sélectionner le menu PROB puis sélectionner l'instruction \(NbrAleat\).
- Si on note \(X\) le résultat obtenu alors \(X\) est une variable aléatoire.
- \(X\) peut prendre une infinité de valeurs possibles : On dit qu'il s'agit d'une variable continue.
- L'ensemble des valeurs possibles pour \(X\) est \(E = [0\;;\;1]\).
- On a par exemple \(P(X \leq 0{,}5) = \dfrac{1}{2}\)
2 – Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Définition 2 : Soit \(X\) une variable aléatoire de type fini. On appelle loi de probabilité de \(X\), la donnée de toutes les probabilités \(P(X = x_i)\) où \(x_i\) prend toutes les valeurs de \(E\).
Remarque : On présente souvent ces données sous la forme d'un tableau
| \(\boldsymbol{x_i}\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\ldots\) | \(x_n\) |
| \(\boldsymbol{P(X = x_i)}\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\ldots\) | \(p_n\) |
Exemple 1 (Suite) :
Si la pièce est bien équilibrée la loi de \(X\) est donnée par le tableau suivant :
| \(x_i\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(0{,}5\) | \(0{,}5\) |
Exemple 2 (Suite) :
Si le dé est bien équilibré la loi de \(X\) est donnée par le tableau suivant :
| \(x_i\) | \(-2\) | \(1\) | \(6\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(\dfrac{4}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
Propriété 1 : On a \(P(X = x_1) + P(X = x_2) + \cdots + P(X = x_n) = 1\) ou bien \(p_1 + \cdots + p_n = 1\).
