1 – Espérance d'une variable aléatoire
Définition 1 : Soit \(X\) une variable aléatoire de type fini. On appelle espérance de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(E(X)\), donné par :
\[E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i\]
Remarque : L'espérance \(E(X)\) peut s'interpréter comme la valeur moyenne prise par la variable \(X\) lorsque l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.
Exemple 1 :
On considère le jeu suivant : On lance une pièce. Si la pièce tombe sur « \(Pile\) » alors on gagne \(1\) €, si la pièce tombe sur « \(Face\) » on perd \(1\) €. Calculons l'espérance de la variable \(X\).
On a \(E(X) = (-1) \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\).
Cela signifie qu'en moyenne le joueur ne gagnera ni ne perdra d'argent. On dira que le jeu est équitable.
Exemple 2 :
On considère le jeu suivant : On lance un dé. Si le dé tombe sur « \(1\) » alors on gagne \(1\) $, si le dé tombe sur « \(6\) » on gagne \(6\) $, sinon on perd \(2\) $. Calculons l'espérance de la variable \(X\).
\[\begin{aligned} E(X) &= (-2) \times \dfrac{4}{6} + 1 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6} \\[6pt] &= -\dfrac{1}{6} \approx -0{,}17 \end{aligned}\]
Cela signifie, qu'en moyenne le joueur perdra \(0{,}17\) € par partie.
Remarque : Dans les jeux de hasard de la vie réelle, (la roulette, le loto, les tickets à gratter, etc) l'espérance du joueur est négatif : Ce que l'on perd en moyenne correspond à ce que gagne l'organisateur du jeu.
2 – Variance & Écart-type
Définition 2 : Soit \(X\) une variable aléatoire de type fini.
• On appelle variance de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(V(X)\), donné par : \[\begin{aligned} V(X) &= (x_1 - E(X))^2 p_1 + (x_2 - E(X))^2 p_2 + \cdots + (x_n - E(X))^2 p_n \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i \end{aligned}\] • On appelle écart-type de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(\sigma(X)\), donné par : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
• On appelle variance de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(V(X)\), donné par : \[\begin{aligned} V(X) &= (x_1 - E(X))^2 p_1 + (x_2 - E(X))^2 p_2 + \cdots + (x_n - E(X))^2 p_n \\ &= \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i \end{aligned}\] • On appelle écart-type de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(\sigma(X)\), donné par : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Remarque : Variance et Écart-type mesurent la répartition des valeurs de la variable autour de l'espérance : Plus ces paramètres sont élevés, plus les valeurs prises par la variable \(X\) seront dispersées lorsque l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire. On utilise plus souvent l'écart-type qui a l'avantage de posséder la même unité que les valeurs.
Exemple 1 (Suite) :
Calculons la variance et l'écart-type de la variable \(X\). Comme \(E(X) = 0\)
\[\begin{aligned}
V(X) &= (-1 - 0)^2 \times 0{,}5 + (1 - 0)^2 \times 0{,}5 \\
&= 1 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 1
\end{aligned}\]
et \(\sigma(X) = \sqrt{1} = 1\).
Exemple 2 (Suite) :
Calculons la variance et l'écart-type. Comme \(E(X) = -\dfrac{1}{6}\).
\[\begin{aligned}
V(X) &= \left(-2 + \dfrac{1}{6}\right)^2 \times \dfrac{4}{6} + \left(1 + \dfrac{1}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} + \left(6 + \dfrac{1}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} \\[6pt]
&= \left(-\dfrac{11}{6}\right)^2 \times \dfrac{4}{6} + \left(\dfrac{7}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} + \left(\dfrac{37}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} \\[6pt]
&= \dfrac{484}{216} + \dfrac{49}{216} + \dfrac{1369}{216} = \dfrac{1902}{216} = \dfrac{317}{36} \approx 8{,}81
\end{aligned}\]
\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{317}{36}} = \dfrac{\sqrt{317}}{6} \approx 2{,}97\).
