1 – Définition d'une suite
Rappel : On note \(\mathbb{N}\) l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire \(\mathbb{N} = \{0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\;;\;\ldots\}\).
Définition 1 : Une suite numérique, notée \((u_n)\), est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)).
L'image d'un entier naturel \(n\) est notée \(u_n\) et est appelée le terme de rang \(n\).
L'image d'un entier naturel \(n\) est notée \(u_n\) et est appelée le terme de rang \(n\).
Remarques :
- Une suite est une fonction dont la variable \(n\) est un entier positif ou nul.
- On peut voir une suite comme une liste indexée de nombres réels :
Exemple 1 :
Soit \((d_n)\) la suite des décimales du nombre \(\pi\).
On peut écrire \((d_n) = (3\;;\;1\;;\;4\;;\;1\;;\;5\;;\;9\;;\;2\;;\;\ldots)\). Les premiers termes sont \(d_0 = 3\), \(d_1 = 1\), \(d_2 = 4\), etc.
Mode de génération : On peut définir une suite de deux façons différentes :
- Par une formule explicite : \(u_n = f(n)\).
- Par une relation de récurrence, à l'aide des deux données suivantes :
- Le premier terme \(u_0\).
- Une relation qui définit chaque terme en fonction des précédents : \(u_{n+1} = f(u_n)\).
Exemple 2 :
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2 + 2n - 5\).
C'est une relation explicite : on a \(u_n = f(n)\) avec \(f(x) = x^2 + 2x - 5\).
Calculons les premiers termes de la suite : \[u_0 = f(0) = 0^2 + 2 \times 0 - 5 = -5\] \[u_1 = f(1) = 1^2 + 2 \times 1 - 5 = -2\] \[u_2 = f(2) = 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 3\] \[u_3 = f(3) = 3^2 + 2 \times 3 - 5 = 10\]
Remarque : Pour calculer un terme de la suite, il suffit de remplacer \(n\) par le rang souhaité dans la formule.
Exemple 3 :
Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = 2v_n + 1 \end{cases}\)
La suite \((v_n)\) est définie par une relation de récurrence.
On donne le premier terme puis chaque terme s'obtient à partir du précédent.
Calculons les premiers termes de la suite : \[v_1 = 2 \times v_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3\] \[v_2 = 2 \times v_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\] \[v_3 = 2 \times v_2 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15\]
Remarque : Pour calculer un terme de la suite, il faut calculer tous les termes précédents.
2 – Représentation graphique d'une suite
Définition 2 : Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une suite \((u_n)\) est l'ensemble des points de coordonnées \((n\;;\;u_n)\).
Remarque : La représentation graphique d'une fonction est une courbe alors que la représentation graphique d'une suite est un nuage de points.
Exemple 4 :
Représentation graphique de la suite \((u_n)\) :
Fonction \(f(x) = x^2 + 2x - 5\)
Suite \(u_n = n^2 + 2n - 5\)
3 – Calcul des termes à l'aide d'un algorithme
Il est possible de générer les termes d'une suite à l'aide d'un algorithme.
Exemple 5 :
Algorithme qui calcule et affiche les 100 premiers termes de la suite explicite \((u_n)\).
Algorithme :
Variables : \(\overbrace{n}^{rang}\), \(\overbrace{u}^{terme}\)
Pour \(n\) allant de \(0\) à \(99\)
\(u \longleftarrow n^2 + 2n - 5\)
Afficher \(u\)
Fin Pour
Exécution :
● 1er tour de boucle :
\(n \leftarrow 0\)
\(u \leftarrow 0^2 + 2 \times 0 - 5 = -5\)
« \(-5\) » (On affiche \(u_0\))
● 2ème tour de boucle :
\(n \leftarrow 1\)
\(u \leftarrow 1^2 + 2 \times 1 - 5 = -2\)
« \(-2\) » (On affiche \(u_1\)) etc.
Programme Python :
Exemple 6 :
Algorithme qui calcule et affiche les 100 premiers termes de la suite récurrente \((v_n)\).
Algorithme :
Variables : \(\overbrace{n}^{rang}\), \(\overbrace{v}^{terme}\)
\(v \leftarrow 1\)
Afficher \(v\)
Pour \(n\) allant de \(1\) à \(99\)
\(v \longleftarrow 2v + 1\)
Afficher \(v\)
Fin Pour
Exécution :
\(v \leftarrow 1\)
« \(1\) » (On affiche \(v_0\))
● 1er tour de boucle :
\(n \leftarrow 0\)
\(v \leftarrow 2 \times 1 + 1 = 3\)
« \(3\) » (On affiche \(v_1\))
● 2ème tour de boucle :
\(n \leftarrow 1\)
\(v \leftarrow 2 \times 3 + 1 = 7\)
« \(7\) » (On affiche \(v_2\)) etc.
Programme Python :
