1 – Suite croissante, décroissante et constante
Définition 3 :
- Une suite \((u_n)\) est dite croissante si chaque terme est plus grand que le précédent,
c'est-à-dire pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} \geq u_n\). - Une suite \((u_n)\) est dite décroissante si chaque terme est plus petit que le précédent,
c'est-à-dire pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} \leq u_n\). - Une suite \((u_n)\) est dite constante si chaque terme est égal au précédent,
c'est-à-dire pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} = u_n\).
Exemple 1 :
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = n^2\).
On a : \((u_n) = (0\;;\;1\;;\;4\;;\;9\;;\;16\;;\;25\;;\;\ldots)\)
Chaque terme est plus grand que le précédent :
Pour tout rang \(n\) on a : \(u_{n+1} \geq u_n\).
La représentation graphique de \((u_n)\) monte.
On dit que la suite \((u_n)\) est croissante.
Exemple 2 :
Soit la suite \((v_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(v_n = \dfrac{1}{n+1}\).
On a : \((v_n) = \left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{1}{4}\;;\;\dfrac{1}{5}\;;\;\ldots\right)\)
Chaque terme est plus petit que le précédent :
Pour tout rang \(n\) on a : \(v_{n+1} \leq v_n\).
La représentation graphique de \((v_n)\) descend.
On dit que la suite \((v_n)\) est décroissante.
Exemple 3 :
Soit la suite \((w_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par : \(\begin{cases} w_0 = 1 \\ w_{n+1} = 2w_n - 1 \end{cases}\)
On a : \((w_n) = (1\;;\;1\;;\;1\;;\;1\;;\;1\;;\;\ldots)\)
Chaque terme est égal au précédent :
Pour tout rang \(n\) on a : \(w_{n+1} = w_n\).
La représentation graphique de \((w_n)\) est stable.
On dit que la suite \((w_n)\) est constante.
2 – Méthodes pour déterminer le sens de variation
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction monotone(1) sur \([0\;;\;+\infty[\) et \((u_n)\) une suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = f(n)\).
Alors le sens de variation de la suite est le même que celui de la fonction \(f\).
Alors le sens de variation de la suite est le même que celui de la fonction \(f\).
Exemple 4 :
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = n^2\).
On a \(u_n = f(n)\) où \(f\) est la fonction définie par \(f(x) = x^2\).
Or, la fonction carré est croissante sur \([0\;;\;+\infty[\).
Donc, pour tout entier naturel \(n\), on a \(f(n+1) \geq f(n)\).
Donc, pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_{n+1} \geq u_n\).
Donc la suite \((u_n)\) est croissante.
Propriété 2 : Soit \((u_n)\) une suite numérique.
- Si pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) alors la suite est croissante.
- Si pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) alors la suite est décroissante.
Exemple 5 :
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = n^2 + n\).
Pour tout rang \(n\), on a : \[\begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= \underbrace{(n+1)^2 + (n+1)}_{u_{n+1}} - \underbrace{(n^2 + n)}_{u_n} \\ &= n^2 + 2n + 1 + n + 1 - n^2 - n \\ &= 2n + 2 > 0 \end{aligned}\] En effet, si \(n \geq 0\) alors \(2n \geq 0\) et donc \(2n + 2 > 0\).
Ainsi pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} - u_n > 0\) c'est-à-dire \(u_{n+1} > u_n\).
Donc la suite \((u_n)\) est croissante.
Propriété 3 : Soit \((u_n)\) une suite numérique à termes strictement positifs : Pour tout rang \(n\), \(u_n > 0\).
- Si pour tout rang \(n\), on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1\) alors la suite est croissante.
- Si pour tout rang \(n\), on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1\) alors la suite est décroissante.
Exemple 6 :
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = \dfrac{3}{2n+1}\).
La suite \((u_n)\) est à termes strictement positifs car \(3 > 0\) et pour tout rang \(n\), \(2n + 1 > 0\).
Pour tout rang \(n\), on a : \[\begin{aligned} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} &= \dfrac{\dfrac{3}{2(n+1)+1}}{\dfrac{3}{2n+1}} = \dfrac{3}{2n+3} \times \dfrac{2n+1}{3} \\[6pt] &= \dfrac{2n+1}{2n+3} < 1 \end{aligned}\] En effet, pour tout entier naturel \(n\), \(2n + 1 < 2n + 3\).
Ainsi pour tout rang \(n\), on a \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) c'est-à-dire \(u_{n+1} < u_n\).
Donc la suite \((u_n)\) est décroissante.
Remarque : (1) On dit qu'une fonction est monotone sur un intervalle \(I\) si elle ne change pas de sens de variation sur \(I\).
