1 – Limite infinie
Définition 1 :
- On dit que la suite \((u_n)\) a pour limite \(+\infty\), si pour tout nombre réel \(A\) aussi grand que l'on veut,
il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont supérieurs à \(A\).
On note alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\). - On dit que la suite \((u_n)\) a pour limite \(-\infty\), si pour tout nombre réel \(A\) aussi grand que l'on veut,
il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont inférieurs à \(-A\).
On note alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\).
Vocabulaire : On dit dans ce cas que la suite « tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) ».
Explication : Dire qu'une suite tend vers l'infini signifie que les termes de la suite dépassent, à partir d'un certain rang, n'importe quelle valeur \(A\) fixée à l'avance.
Exemple 1 :
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2\).
1) Calculer les premiers termes de la suite \((u_n)\).
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(u_n\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) | \(36\) | \(49\) | \(64\) | \(81\) | \(100\) |
2) Dans le repère ci-contre, représenter la suite \((u_n)\).
3) Que se passe-t-il lorsque \(n\) devient de plus en plus grand ? Quelle est sa limite ?
Les termes de la suite sont de plus en plus grands, aussi grand que l'on veut, en prenant un rang suffisamment grand. La limite de la suite est donc \(+\infty\) : \[\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\]
On entre
=A2^2.
5) Déterminer le rang à partir duquel tous les termes sont :
- Supérieurs à \(A = 100\) : \(n = 10\)
- Supérieurs à \(A = 1\,000\) : \(n = 32\)
- Supérieurs à \(A = 10\,000\) : \(n = 100\)
- Supérieurs à \(A = 100\,000\) : \(n = 317\)
Algorithme :
Variables : \(n\), \(u\)
\(n \leftarrow 0\)
\(u \leftarrow 0\)
Tant que \(u < 100\,000\) Faire
\(n \leftarrow n + 1\)
\(u \leftarrow n^2\)
Fin Tant que
Afficher \(n\)
Exécution :
\(n = 0\), \(u = 0\)
\(u < 100\,000\)
\(n = 1\), \(u = 1\)
\(u < 100\,000\)
\(\ldots\)
\(n = 317\), \(u = 100\,489\)
\(u \geq 100\,000\)
Afficher « \(317\) »
Programme Python :
2 – Limite finie
Définition 2 : Soit \(l\) un nombre réel. On dit que la suite \((u_n)\) a pour limite \(l\), si pour tout nombre réel \(\varepsilon > 0\) aussi petit que l'on veut, il existe un rang à partir duquel, tous les termes sont à une distance de \(l\) inférieure à \(\varepsilon\).
Dans ce cas, on note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = l\).
Dans ce cas, on note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = l\).
Remarque : Dire que la distance entre \(u_n\) et \(l\) est inférieure à \(\varepsilon\) s'écrit(1) \(|u_n - l| < \varepsilon\).
Vocabulaire : On dit dans ce cas que la suite « tend vers \(l\) ».
Explication : Dire qu'une suite tend vers \(l\) signifie, qu'à partir d'un certain rang, les termes de la suite se rapprochent aussi proche que l'on veut de \(l\), à une distance inférieure à n'importe quel écart \(\varepsilon\) fixé à l'avance.
Exemple 2 :
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n \geq 1\) par \(u_n = \dfrac{4n - 1}{2n}\).
1) À l'aide de la calculatrice, calculer les premiers termes de la suite \((u_n)\).
| \(n\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |
| \(u_n\) | \(1{,}5\) | \(1{,}75\) | \(1{,}83\) | \(1{,}87\) | \(1{,}9\) | \(1{,}91\) | \(1{,}92\) | \(1{,}93\) | \(1{,}94\) | \(1{,}95\) |
2) Dans le repère ci-contre, représenter la suite \((u_n)\).
3) Que se passe-t-il lorsque \(n\) devient de plus en plus grand ? Quelle est sa limite ?
Les termes de la suite se rapprochent de plus en plus de « \(2\) », aussi proche que l'on veut, en prenant un rang suffisamment grand. La limite de la suite est donc \(2\) : \[\lim_{n \to +\infty} u_n = 2\]
On entre
=(4*A2-1)/(2*A2).
5) Déterminer le rang à partir duquel tous les termes sont distants de la limite de :
- Moins de \(\varepsilon = \dfrac{1}{10}\) : \(n = 6\)
- Moins de \(\varepsilon = \dfrac{1}{100}\) : \(n = 51\)
Algorithme :
Variables : \(n\), \(u\)
\(n \leftarrow 1\)
\(u \leftarrow 1{,}5\)
Tant que \(|u - 2| \geq 0{,}01\) Faire
\(n \leftarrow n + 1\)
\(u \leftarrow \dfrac{4n - 1}{2n}\)
Fin Tant que
Afficher \(n\)
Exécution :
\(n = 1\), \(u = 1{,}5\)
\(|1{,}5 - 2| = 0{,}5 \geq 0{,}01\)
\(n = 2\), \(u = 1{,}75\)
\(|1{,}75 - 2| = 0{,}25 \geq 0{,}01\)
\(\ldots\)
\(n = 51\), \(u \approx 1{,}9901\)
\(|1{,}9901 - 2| = 0{,}0099 < 0{,}01\)
Afficher « \(51\) »
Programme Python :
Remarque : (1) \(|x|\) désigne la valeur absolue de \(x\) : \(|x| = \begin{cases} x &\text{si } x \geq 0 \\ -x &\text{si } x < 0 \end{cases}\).
