1 – Définition
● Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(r = 2\).
Pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} = u_n + 2\). On a donc \((u_n) = (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; \ldots)\)
● Soit \((v_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 10\) et de raison \(r = -3\).
Pour tout rang \(n\), on a \(v_{n+1} = v_n - 3\). On a donc \((v_n) = (10 ; 7 ; 4 ; 1 ; -2 ; -5 ; \ldots)\)
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = 4n + 5\).
Pour tout rang \(n\) :
\[\begin{aligned} u_{n+1} - u_n &= 4(n + 1) + 5 - (4n + 5) \\ &= 4n + 4 + 5 - 4n - 5 = 4 \end{aligned}\]La différence entre deux termes consécutifs est donc constante égale à \(4\).
Pour tout rang \(n\), on a \(u_{n+1} = u_n + 4\).
En conclusion la suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 4\) et de premier terme \(u_0 = 4 \times 0 + 5 = 5\).
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_n = n^2\).
On a \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_2 = 4\). On a donc \(u_1 - u_0 = 1\) et \(u_2 - u_1 = 3\).
La différence entre deux termes consécutifs n'est pas constante. La suite n'est donc pas arithmétique.
2 – Formule explicite
En particulier, lorsque le premier terme est \(u_1\) on utilise la relation \(u_n = u_1 + (n - 1)r\).
Démonstration :
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\). Pour tout rang \(n\), \(u_{n+1} = u_n + r\). On a donc :
\[\begin{cases} u_1 = u_0 + r \\ u_2 = u_1 + r = u_0 + r + r = u_0 + 2r \\ u_3 = u_2 + r = u_0 + 2r + r = u_0 + 3r \\ \ldots \end{cases}\]
Ainsi pour arriver jusqu'à \(u_n\), en partant de \(u_0\), on aura rajouté \(n\) fois la raison : \(u_n = u_0 + nr\) □
● Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(r = 2\).
Pour tout rang \(n\), on a \(u_n = 1 + n \times 2 = 2n + 1\) ; \(u_{10} = 2 \times 10 + 1 = 21\).
● Soit \((v_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(v_1 = 7\) et de raison \(r = -3\).
Pour tout rang \(n\) on a \(v_n = 7 + (n - 1) \times (-3) = 7 - 3n + 3 = -3n + 10\) ; \(v_{10} = -3 \times 10 + 10 = -20\).
3 – Sens de variation
● Si \(r > 0\) alors la suite \((u_n)\) est croissante
● Si \(r < 0\) alors la suite \((u_n)\) est décroissante
● Si \(r = 0\) alors la suite \((u_n)\) est constante
● \(u_0 = 1\) ; \(r = 2\)
\((u_n)\) est croissante
● \(v_0 = 10\) ; \(r = -3\)
\((v_n)\) est décroissante
● \(w_0 = 5\) ; \(r = 0\)
\((w_n)\) est constante
4 – Limites
● Si \(r > 0\) alors la suite a pour limite \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)
● Si \(r < 0\) alors la suite a pour limite \(-\infty\) : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty\)
● Si \(r = 0\) alors la suite a pour limite \(u_0\) : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0\)
On reprend les suites de l'exemple précédent, on a :
● \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\)
● \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty\)
● \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = 5\)
5 – Évolution linéaire
Démonstration :
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\).
● On considère la droite \((d)\) qui a pour coefficient directeur \(r\) et pour ordonnée à l'origine \(u_0\).
Cette droite a pour équation \(y = \underset{a}{\underbrace{r}}\, x + \underset{b}{\underbrace{u_0}}\).
● Les points \((\underset{x}{\underbrace{n}} ; \underset{y}{\underbrace{u_n}})\) de la représentation graphique de \((u_n)\) appartiennent tous à \((d)\) car la formule explicite nous permet d'écrire que, pour tout rang \(n\), \(\underset{y}{\underbrace{u_n}} = u_0 + nr = r\,\underset{x}{\underbrace{n}} + u_0\). □
Les points de la suite \((u_n)\) de l'exemple 5 appartiennent à la droite d'équation \(y = 2x + 1\).
On ouvre un compte où l'on place \(10\,000\) euros. Chaque année on reçoit \(5\%\) de la somme initiale (intérêts simples). Soit \(u_n\) le montant sur le compte \(n\) années après son ouverture.
La suite \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = 10\,000\) et de raison \(r = 500\) (\(5\%\) de \(10\,000\)).
