1 – Définition

Définition 1 : On dit qu'une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si pour tout rang $n$, on a \[u_{n+1} = q \times u_n\]

$Schéma montrant la progression d'une suite géométrique de u_0 à u_{n+1} par multiplication successive par q$

Exemple 1 :

● Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 3$.

Pour tout rang $n$ on a $u_{n+1} = 3 \times u_n$. On a donc $(u_n) = (1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ; \ldots)$

● Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

Pour tout rang $n$ on a $v_{n+1} = \dfrac{1}{2} \times v_n$. On a donc $(v_n) = \left(2 ; 1 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{8} ; \dfrac{1}{16} ; \ldots\right)$

Exemple 2 :

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2^n$.

Pour tout rang $n$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = \dfrac{2^n \times 2}{2^n} = 2$. Le quotient entre deux termes consécutifs est constant égal à $2$.

Pour tout rang $n$ on a $u_{n+1} = 2 \times u_n$.

En conclusion la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0 = 2^0 = 1$.

Exemple 3 :

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2$.

On a $u_1 = 1$, $u_2 = 4$ et $u_3 = 9$.

On a donc $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{4}{1} = 4$ et $\dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$.

Le quotient entre deux termes consécutifs n'est pas constant. La suite n'est donc pas géométrique.

2 – Formule explicite

Propriété 1 : Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ alors pour tout rang $n$, on a \[u_n = u_0 \times q^n\]

Remarque : Plus généralement, si $k$ est un entier naturel, pour tout rang $n \geq k$, on a $u_n = u_k \times q^{n-k}$.

En particulier, lorsque le premier terme est $u_1$, on utilisera la formule $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Démonstration :

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$. Pour tout rang $n$, $u_{n+1} = q \times u_n$. On a donc :

\[\begin{cases} u_1 = q \times u_0 \\ u_2 = q \times u_1 = q \times q \times u_0 = q^2 \times u_0 \\ u_3 = q \times u_2 = q \times q^2 \times u_0 = q^3 \times u_0 \\ \ldots \end{cases}\]

Schéma montrant le passage de u_0 à u_n par multiplication successive par q

Ainsi pour arriver jusqu'à $u_n$, en partant de $u_0$, on aura multiplié $n$ fois par la raison : $u_n = q^n \times u_0$ □

Remarque : La formule explicite permet de calculer n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.

Exemple 4 :

● Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $q = 3$.

Formule explicite : Pour tout rang $n$, $u_n = 1 \times 3^n = 3^n$. On a $u_{10} = 3^{10} = 59\,049$.

● Soit $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $v_1 = 2$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.

Formule explicite : Pour tout rang $n$, $v_n = 2 \times (0{,}5)^{n-1}$. On a $v_{10} = 2 \times 0{,}5^{10-1} = 2 \times 0{,}5^9 \cong 0{,}0039$.

3 – Sens de variation

Propriété 2 : On considère une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q > 0$ et de premier terme $u_0 > 0$.

● Si $q > 1$ alors la suite $(u_n)$ est croissante.

● Si $0 < q < 1$ alors la suite $(u_n)$ est décroissante.

● Si $q = 1$ alors la suite $(u_n)$ est constante.

Exemple 5 :

● $u_0 = 1$ ; $q = 3$

Graphique d'une suite géométrique croissante avec u_0 = 1 et q = 3

$(u_n)$ est croissante

● $v_0 = 2$ ; $q = \dfrac{1}{2}$

Graphique d'une suite géométrique décroissante avec v_0 = 2 et q = 1/2

$(v_n)$ est décroissante

● $w_0 = 3$ ; $q = 1$

Graphique d'une suite géométrique constante avec w_0 = 3 et q = 1

$(w_n)$ est constante

Remarques :

● Si $u_0 < 0$ alors les sens de variation sont inversés : décroissant si $q > 1$ et croissant si $0 < q < 1$.

● Si $q < 0$ alors la suite n'est pas monotone : les termes oscillent indéfiniment entre positif et négatif.

4 – Limites

Propriété 3 : On considère une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q > 0$ et de premier terme $u_0$.

● Si $q > 1$ et $u_0 > 0$ alors la suite a pour limite $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

● Si $q > 1$ et $u_0 < 0$ alors la suite a pour limite $-\infty$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

● Si $0 < q < 1$ alors la suite a pour limite $0$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$

● Si $q = 1$ alors la suite a pour limite $u_0$ : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$

Exemple 7 :

On reprend les suites de l'exemple précédent, on a :

● $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

● $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$

● $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = 3$

5 – Évolution exponentielle

• On utilise les suites géométriques pour modéliser des situations où l'évolution est exponentielle.

• Lorsqu'une quantité subit plusieurs évolutions successives d'un même pourcentage $a\%$, alors on peut modéliser mathématiquement l'évolution de cette quantité par une suite géométrique, de 1^er terme $u_0$ égal à sa valeur initiale, et de raison $q = 1 + \dfrac{a}{100}$.

Exemple 8 :

On ouvre un compte où l'on place $10\,000$ euros. Chaque année on reçoit $5\%$ de la somme présente sur le compte (intérêts composés). Soit $u_n$ le montant sur le compte $n$ années après son ouverture.

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 10\,000$ et de raison $q = 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05$.

Cours n°2 — Suites géométriques

1 – Définition

2 – Formule explicite

3 – Sens de variation

4 – Limites

5 – Évolution exponentielle