Soit \((u_n)\) une suite quelconque. On note \(S_n\) la somme des \(n + 1\) premiers termes (de \(u_0\) à \(u_n\)) :
\[S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\] Que l'on note aussi \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k\).1 – Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme des \(100\) premiers entiers est égale à :
\[\sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050\]Démonstration 1 :
(Suggérée par le mathématicien Carl Friedrich Gauss alors qu'il avait seulement \(10\) ans !)
• L'idée est d'écrire deux fois la somme \(S_n\) des \(n\) premiers entiers mais dans le sens inverse :
\[S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n\] \[S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 3 + 2 + 1\]• En additionnant les deux lignes on obtient :
\[2 \times S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1)}_{n \text{ fois}}\] \[2 \times S_n = n \times (n+1)\]• En divisant l'égalité précédente par \(2\), on obtient le résultat souhaité : \(S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) □
Démonstration 2 :
(Géométrique)
Il y a \(S_n = 1 + 2 + \cdots + n\) carreaux
\(2 \times S_n = n \times (n+1)\) d'où \(S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) □
Démonstration :
On raisonne de la même manière que dans la démonstration 1.
• Or verticalement les sommes sont identiques :
\[(u_0 + u_n) = (\underbrace{u_1}_{u_0 + r} + \underbrace{u_{n-1}}_{u_n - r})\] \[= (\underbrace{u_2}_{u_0 + 2r} + \underbrace{u_{n-2}}_{u_n - 2r}) = \cdots\]• On additionne les 2 lignes :
\[2 \times S_n = \underbrace{(u_0 + u_n) + (u_0 + u_n) + \cdots + (u_0 + u_n)}_{n+1 \text{ fois}}\] \[2 \times S_n = (n+1) \times (u_0 + u_n)\]• En divisant l'égalité précédente par \(2\), on obtient le résultat souhaité : \(S_n = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}\) □
Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de raison \(r = 5\) et de 1er terme \(u_0 = 8\).
\[\begin{aligned} S_{10} &= (10 + 1) \times \dfrac{u_0 + u_{10}}{2} = 11 \times \dfrac{8 + 58}{2} \\[6pt] &= 11 \times \dfrac{66}{2} = 11 \times 33 = 363 \end{aligned}\](On a \(u_{10} = 8 + 10 \times 5 = 58\))
2 – Somme des termes d'une suite géométrique
• \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n\) s'écrit également \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k\) (par convention on a \(q^0 = 1\)).
• Si \(q = 1\) alors :
\[1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n+1 \text{ fois}} = n + 1\]Démonstration :
Soit \(S_n = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n\). On utilise une somme dite "télescopique".
• On calcule \((1 - q) S_n = S_n - q S_n\)
\[\begin{aligned} &= 1 + q + q^2 + \cdots + q^n \\ &\quad - q(1 + q + \cdots + q^{n-1} + q^n) \\ &= 1 + q + q^2 + \cdots + q^n \\ &\quad - q - q^2 - \cdots - q^n - q^{n+1} \\ &= 1 - q^{n+1} \end{aligned}\]• On passe \(1 - q\) de l'autre côté et on obtient le résultat voulu : \(S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) □
Démonstration :
\[\begin{aligned} S_n &= u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_n \\ &= u_0 + u_0 \times q + u_0 \times q^2 + \cdots + u_0 \times q^n \\ &\quad \small\text{(on décompose chaque terme avec } u_0 \text{)} \\ &= u_0(1 + q + q^2 + \cdots + q^n) \\ &\quad \small\text{(on factorise par } u_0 \text{)} \\ &= u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \end{aligned}\]□
Soit \((u_n)\) la suite géométrique de raison \(q = 2\) et de 1er terme \(u_0 = 3\).
\[S_9 = 3 \times \dfrac{1 - q^{9+1}}{1 - q} = 3 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{-1} = 3069\](On a \(2^{10} = 1024\))
