1 – Généralités
Définition 1 : Une suite est une liste indexée de nombres.
Remarques :
- Les suites sont généralement notées avec les lettres minuscules \(u, v, w\).
- Les éléments de cette suite sont appelés les termes.
- Le numéro de chaque terme est appelé son rang ou son indice.
- Pour une suite \(u\), le terme de rang \(n\) est noté \(u(n)\) ou bien \(u_n\) qui se lit « \(u\) indice \(n\) ».
- Une suite est généralement numérotée à partir de \(0\) : le 1er terme d'une suite \(u\) est donc souvent \(u(0)\).
- Par rapport au terme \(u(n)\), le terme suivant est \(u(n + 1)\) et le terme précédent est \(u(n - 1)\).
Exemple 1 (Suite de Fibonacci) :
\((u_n) = (\;1\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;5\;;\;8\;;\;13\;;\;21\;;\;34\;;\;55\;;\;\ldots\;;\;\ldots\;;\;\text{etc}\;)\)
1) Compléter les deux termes manquants de la suite et expliquer comment on obtient les termes suivants.
On obtient un terme en additionnant les deux termes précédents.
2) Déterminer : le 1er terme ; le terme de rang \(4\) ; \(u(7)\) ; \(u_{10}\) ; le rang du terme \(233\).
Le 1er terme est \(u(0) = 1\) ; \(u(4) = 5\) ; \(u(7) = 21\) ; \(u_{10} = 89\) ; \(233\) est de rang \(12\).
2 – Mode de génération
Définition 2 : Une suite \(u\) est définie de façon explicite lorsque le terme \(u(n)\) se calcule directement à l'aide d'une formule en fonction de \(n\).
Remarque : Dans ce cas, pour calculer un terme, il suffit de remplacer la variable \(n\) par le rang souhaité.
Exemple 2 :
Soit la suite \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u(n) = n^2\).
\[u(0) = 0^2 = 0 \quad;\quad u(1) = 1^2 = 1 \quad;\quad u(2) = 2^2 = 4\]
\[u(3) = 3^2 = 9 \quad;\quad u(4) = 4^2 = 16 \quad;\quad u(99) = 99^2 = 9801\]
Définition 3 : Une suite \(u\) est définie par récurrence lorsque l'on dispose du ou de(s) premier(s) terme(s), ainsi qu'une relation permettant de calculer un terme à partir du (ou des) précédent(s).
Remarque : Dans ce cas, pour calculer un terme, on doit d'abord calculer tous les termes précédents.
Exemple 3 :
Soit la suite \(v\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = 2v_n + 1 \end{cases}\)
\[v_1 = 2 \times v_0 + 1 = 2 \times 1 + 1 = 3 \quad;\quad v_2 = 2 \times v_1 + 1 = 2 \times 3 + 1 = 7\]
\[v_3 = 2 \times v_2 + 1 = 2 \times 7 + 1 = 15 \quad;\quad v_{99} = 2 \times v_{98} + 1 = \ldots\]
3 – Représentation graphique
Définition 4 : Pour représenter graphiquement une suite \(u\) dans un repère, on place :
- Les « indices » \(n\) sur l'axe des abscisses.
- Les « termes » \(u(n)\) sur l'axe des ordonnées.
- Les points de coordonnées \((n\;;\;u_n)\) dans le repère.
Exemple 4 :
Représentation graphique de la suite \(u\) définie par \(u(n) = n^2 + 2n - 5\).
Calcul des premiers termes : \[u_0 = 0^2 + 2 \times 0 - 5 = -5\] \[u_1 = 1^2 + 2 \times 1 - 5 = -2\] \[u_2 = 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 3\] \[u_3 = 3^2 + 2 \times 3 - 5 = 10\]
Suite \(u_n = n^2 + 2n - 5\)
Fonction \(f(x) = x^2 + 2x - 5\)
Remarque : La représentation graphique d'une fonction est une courbe alors que la représentation graphique d'une suite est un nuage de points (non reliés).
