1 – Définition
Définition 1 : On dit qu'une suite \(u\) est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre \(r\) appelé la raison de la suite.
Exemple 1 :
- La suite \(u = (3\;;\;6\;;\;9\;;\;12\;;\;15\;;\;\ldots)\) est arithmétique. Sa raison est \(r = 3\).
- La suite \(v = (5\;;\;3\;;\;1\;;\;-1\;;\;-3\;;\;\ldots)\) est arithmétique. Sa raison est \(r = -2\).
- La suite \(w = (5\;;\;10\;;\;15\;;\;20\;;\;24\;;\;\ldots)\) n'est pas arithmétique car on n'ajoute pas toujours le même nombre.
2 – Relation de récurrence
Propriété 1 : Si \(u\) est une suite arithmétique de raison \(r\) alors pour tout rang \(n\), on a \(u(n + 1) = u(n) + r\).
Exemple 2 :
- Soit \(u\) la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(r = 2\).
\(u = (1\;;\;3\;;\;5\;;\;7\;;\;9\;;\;11\;;\;\ldots)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(u(n + 1) = u(n) + 2\). - Soit \(v\) la suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 10\) et de raison \(r = -3\).
\(v = (10\;;\;7\;;\;4\;;\;1\;;\;-2\;;\;-5\;;\;\ldots)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(v(n + 1) = v(n) - 3\).
Remarque : Une suite \(u\) est arithmétique si, pour tout rang \(n\), la différence entre deux termes consécutifs \(u(n + 1) - u(n)\) est un nombre constant, qui correspond alors à la raison de la suite.
3 – Formule explicite
Propriété 2 : Si \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r\) alors pour tout rang \(n\), on a \(u_n = u_0 + nr\).
Remarque : Plus généralement, si \(k\) est un entier naturel, pour tout rang \(n \geq k\), on a \(u_n = u_k + (n - k)r\).
En particulier, lorsque le premier terme est \(u_1\) on utilise la relation \(u_n = u_1 + (n - 1)r\).
En particulier, lorsque le premier terme est \(u_1\) on utilise la relation \(u_n = u_1 + (n - 1)r\).
Remarque : La formule explicite permet de calculer n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.
Exemple 3 :
- Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(r = 2\).
Pour tout rang \(n\), on a \(u_n = 1 + n \times 2 = 2n + 1\) ; \(u_{10} = 2 \times 10 + 1 = 21\). - Soit \((v_n)\) la suite arithmétique de premier terme \(v_1 = 7\) et de raison \(r = -3\).
Pour tout rang \(n\), on a \(v_n = 7 + (n - 1) \times (-3) = 7 - 3n + 3 = -3n + 10\) ; \(v_{10} = -3 \times 10 + 10 = -20\).
4 – Représentation graphique et sens de variation
Propriété 3 : Une suite est arithmétique si et seulement si sa représentation graphique est un nuage de points alignés.
Remarque : La différence d'ordonnée entre deux points successifs est donc constante et correspond alors à la raison de la suite. On parle d'évolution linéaire.
Propriété 4 : On considère une suite arithmétique \(u\) de raison \(r\).
- Si \(r > 0\) alors la suite \(u\) est croissante.
- Si \(r < 0\) alors la suite \(u\) est décroissante.
Remarque : Si \(r = 0\) alors tous les termes de la suite sont égaux et on dit que la suite est constante.
Exemple 5 :
Représenter graphiquement les suites ci-dessous et observer leur sens de variation.
Suite arithmétique \(u\) avec :
\(u_0 = 1\) ; \(r = 2\)
La raison est positive
\(u\) est croissante
\(u_0 = 1\) ; \(r = 2\)
\(u\) est croissante
Suite arithmétique \(v\) avec :
\(v_0 = 10\) ; \(r = -3\)
La raison est négative
\(v\) est décroissante
\(v_0 = 10\) ; \(r = -3\)
\(v\) est décroissante
Suite \(w\) définie par :
\(w(n) = n^2 + 1\)
Les points ne sont pas alignés
\(w\) n'est pas arithmétique
\(w(n) = n^2 + 1\)
\(w\) n'est pas arithmétique
