1 – Définition
Définition 1 : On dit qu'une suite \(u\) est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre \(q\) appelé la raison de la suite.
Exemple 1 :
- La suite \(u = (1\;;\;5\;;\;25\;;\;125\;;\;625\;;\;\ldots)\) est géométrique. Sa raison est \(q = 5\).
- La suite \(v = (100\;;\;50\;;\;25\;;\;12{,}5\;;\;6{,}25\;;\;\ldots)\) est géométrique. Sa raison est \(q = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
- La suite \(w = (2\;;\;4\;;\;8\;;\;12\;;\;24\;;\;\ldots)\) n'est pas géométrique car on ne multiplie pas toujours par le même nombre.
2 – Relation de récurrence
Propriété 1 : Si \(u\) est une suite géométrique de raison \(q\) alors pour tout rang \(n\), on a \(u(n + 1) = u(n) \times q\).
Exemple 2 :
- Soit \(u\) la suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = 3\).
\(u = (1\;;\;3\;;\;9\;;\;27\;;\;81\;;\;243\;;\;\ldots)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(u(n + 1) = u(n) \times 3\). - Soit \(v\) la suite géométrique de premier terme \(v_0 = 10\) et de raison \(q = \dfrac{1}{2}\).
\(v = \left(1\;;\;\dfrac{1}{2}\;;\;\dfrac{1}{4}\;;\;\dfrac{1}{8}\;;\;\dfrac{1}{16}\;;\;\ldots\right)\) et on a, pour tout rang \(n\), la relation de récurrence \(v(n + 1) = v(n) \times 0{,}5\).
Remarque : Une suite \(u\) est géométrique si, pour tout rang \(n\), le quotient entre deux termes consécutifs \(\dfrac{u(n+1)}{u(n)}\) est un nombre constant, qui correspond alors à la raison de la suite.
3 – Formule explicite
Propriété 2 : Si \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q\) alors pour tout rang \(n\), on a \(u_n = u_0 \times q^n\).
Remarque : Plus généralement, si \(k\) est un entier naturel, pour tout rang \(n \geq k\), on a \(u_n = u_k \times q^{n-k}\).
En particulier, lorsque le premier terme est \(u_1\), on utilisera la formule \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\).
En particulier, lorsque le premier terme est \(u_1\), on utilisera la formule \(u_n = u_1 \times q^{n-1}\).
Remarque : La formule explicite permet de calculer n'importe quel terme sans calculer tous les précédents.
Exemple 3 :
- Soit \((u_n)\) la suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = 3\).
Formule explicite : pour tout rang \(n\), \(u_n = 1 \times 3^n = 3^n\) ; \(u_{10} = 3^{10} = 59\,049\). - Soit \((v_n)\) la suite géométrique de premier terme \(v_1 = 2\) et de raison \(q = \dfrac{1}{2}\).
Formule explicite : pour tout rang \(n\), \(v_n = 2 \times (0{,}5)^{n-1}\) ; \(v_{10} = 2 \times 0{,}5^{10-1} = 2 \times 0{,}5^9 \cong 0{,}0039\).
4 – Représentation graphique et sens de variation
Propriété 3 : Une suite géométrique est représentée par un nuage de points de forme exponentielle.
Remarque : On parle de croissance exponentielle lorsque la différence d'ordonnée entre les points devient de plus en plus importante et de décroissance exponentielle lorsque la différence d'ordonnée entre les points devient de plus en plus faible.
Propriété 4 : On considère une suite géométrique \(u\) de raison \(q > 0\) et de 1er terme positif.
- Si \(q > 1\) alors la suite \(u\) est croissante.
- Si \(0 < q < 1\) alors la suite \(u\) est décroissante.
Remarques :
- Si \(q = 1\) alors tous les termes de la suite sont égaux et on dit que la suite est constante.
- Lorsque le premier terme \(u(0)\) est négatif, le sens de variation est inversé par rapport à la propriété.
- Lorsque la raison est négative, la suite oscille entre terme positif et terme négatif.
Exemple 4 :
Représenter graphiquement les suites ci-dessous et observer leur sens de variation.
Suite géométrique \(u\) avec :
\(u_0 = 1\) ; \(q = 3\)
La raison est supérieure à 1
\(u\) est croissante
\(u_0 = 1\) ; \(q = 3\)
\(u\) est croissante
Suite géométrique \(v\) avec :
\(v_0 = 2\) ; \(q = \dfrac{1}{2}\)
La raison est inférieure à 1
\(v\) est décroissante
\(v_0 = 2\) ; \(q = \dfrac{1}{2}\)
\(v\) est décroissante
Suite géométrique \(w\) avec :
\(w_0 = 1\) ; \(q = -1\)
La raison est inférieure à \(0\)
\(w\) n'a pas de sens de variation
\(w_0 = 1\) ; \(q = -1\)
\(w\) n'a pas de sens de variation
