1 – Définition
Définition 1 : On appelle fonction affine toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s'écrire sous la forme
\[f(x) = ax + b\]
où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
Exemple 1 :
\(f(x) = 3x - 5\) est une fonction affine. Ses coefficients sont \(a = 3\) et \(b = -5\).
Cas particuliers :
- Si \(b = 0\), c'est-à-dire \(f(x) = ax\), on dit que \(f\) est une fonction linéaire.
- Si \(a = 0\), c'est-à-dire \(f(x) = b\), on dit que \(f\) est une fonction constante.
2 – Représentation graphique
Propriété 1 : Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite.
On dit que cette droite a pour équation \(y = ax + b\).
On dit que cette droite a pour équation \(y = ax + b\).
Interprétation graphique :
- \(a\) est appelée le coefficient directeur.
Il correspond à la pente de la droite qui représente \(f\). - \(b\) est appelée l'ordonnée à l'origine.
La droite coupe l'axe des ordonnées en \(b\). C'est l'image de \(0\) par \(f\). - La droite coupe l'axe des abscisses en \(-\dfrac{b}{a}\). C'est l'antécédent de \(0\) par \(f\).
Exemple 2 :
La droite du graphique précédent a pour équation \(y = 2x + 4\).
Exemple 3 :
Représenter graphiquement la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -2x + 5\).
\(f\) est une fonction affine donc elle est représentée par une droite.
Pour tracer cette droite on a besoin de deux points de celle-ci :
| \(x\) | \(0\) | \(4\) |
|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(5\) | \(-3\) |
\(f(0) = -2 \times 0 + 5 = 5\)
\(f(4) = -2 \times 4 + 5 = -3\)
On place donc les points \(A(0\;;\;5)\) et \(B(4\;;\;-3)\).
La droite \((AB)\) est la représentation graphique de la fonction \(f\).
Remarques :
- La droite représentative d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.
- La droite représentative d'une fonction constante est horizontale : son équation est de la forme \(y = k\).
- Les fonctions affines sont des droites mais certaines droites ne sont pas des fonctions affines :
Les droites verticales qui ne sont pas des fonctions : leur équation est de la forme \(x = k\).
3 – Sens de variation et signe d'une fonction affine
Propriété 2 : On considère une fonction affine \(f(x) = ax + b\).
- \(f\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\).
- Si \(a > 0\) alors \(f\) est croissante et :
- Si \(a < 0\) alors \(f\) est décroissante et :
Exemple 4 :
Réaliser le tableau de signe des fonctions suivantes :
1) \(f(x) = 4x + 2\)
\(x_0 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{4} = -0{,}5\) et \(a = 4 > 0\).
\(f\) est croissante donc d'abord « \(-\) » puis « \(+\) ».
\(x_0 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{-4}{-\frac{1}{3}} = 4 \times \dfrac{3}{1} = 12\) et \(a = -\dfrac{1}{3} < 0\).
\(g\) est décroissante donc d'abord « \(+\) » puis « \(-\) ».
4 – Linéarité
Propriété 3 : On considère une fonction affine \(f(x) = ax + b\). Alors pour tout nombre réel \(u\) et \(v\), on a :
\[\dfrac{f(v) - f(u)}{v - u} = a\]
Exemple 5 :
On a \(f(2) = 5\), \(f(5) = 9\) et \(f(10) = 15\). Cette fonction peut-elle être affine ?
\(\dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{9 - 5}{5 - 2} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33\)
\(\dfrac{f(10) - f(5)}{10 - 5} = \dfrac{15 - 9}{10 - 5} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2\)
Donc la propriété de linéarité n'est pas vérifiée et la fonction \(f\) ne peut donc pas être affine.
Exemple 6 :
Déterminer la fonction affine \(f\) qui vérifie \(f(1) = -2\) et \(f(5) = 6\).
Comme \(f\) est une fonction affine elle s'écrit sous la forme : \(f(x) = ax + b\).
On commence par calculer le coefficient directeur : \[a = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{6 - (-2)}{5 - 1} = \dfrac{8}{4} = 2\] Donc \(f(x) = 2x + b\). Pour trouver \(b\), on résout une équation en utilisant une des deux valeurs proposées : \[\begin{aligned} f(1) &= -2 \\ \Leftrightarrow\quad 2 \times 1 + b &= -2 \\ \Leftrightarrow\quad 2 + b &= -2 \\ \Leftrightarrow\quad b &= -2 - 2 \\ \Leftrightarrow\quad b &= -4 \end{aligned}\] Ainsi, on a \(f(x) = 2x - 4\).
